《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

3. [2024 四川广元中考]分解因式：$ (a+1)^{2}-4a= $$(a-1)^{2}$.

答案： $(a-1)^{2}$

4. 分解因式：
(1)$$ x^{3}-25x $$；
(2)$$ (x^{2}+4)^{2}-16x^{2} $$；
(3)$$ (x-2)(x-4)+1 $$.

答案：
(1)原式$=x(x^{2}-25)=x(x+5)(x-5)$.
(2)原式$=(x^{2}+4)^{2}-(4x)^{2}=(x^{2}+4+4x)(x^{2}+4-4x)=(x+2)^{2}(x-2)^{2}$.
(3)原式$=x^{2}-4x-2x+8+1=x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$.

5. [2024 广西中考]如果$$ a+b= 3 $$,$$ ab= 1 $$,那么$$ a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3} $$的值为(D).
A.0
B.1
C.4
D.9

答案： D 提示:$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}=ab(a^{2}+2ab+b^{2})=ab(a+b)^{2}=1×3^{2}=9$.

6. 分解因式：$ (x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}= $$4(x+y)(x-y)z^{2}$.

答案： $4(x+y)(x-y)z^{2}$

7. 理解与应用
【解题示例】下面是小明同学用换元法把多项式$$ (x^{2}+4x+1)(x^{2}+4x+7)+9 $$分解因式的过程.
解：设$$ x^{2}+4x= y $$,则
原式$$ = (y+1)(y+7)+9 $$(第一步)
$ =y^{2}+8y+16 $$(第二步)$ =(y+4)^{2} $$(第三步)
$ =(x^{2}+4x+4)^{2} $$.(第四步)【数学思考】(1)小明同学的解题过程中,第二步到第三步运用了因式分解的(C).A. 提取公因式法B. 平方差公式法C. 完全平方公式法【反思改进】(2)老师说：“小明同学因式分解的结果不彻底.”请你写出这个多项式因式分解的最后结果：$$ $(x+2)^{4}$. $
【解决问题】(3)请你用换元法把多项式$$ (x^{2}-6x+8)(x^{2}-6x+10)+1 $$分解因式.
设$x^{2}-6x=y$,则原式$=(y+8)(y+10)+1=y^{2}+18y+80+1=y^{2}+18y+81=(y+9)^{2}=(x^{2}-6x+9)^{2}=[(x-3)^{2}]^{2}=(x-3)^{4}$.

答案：
(1)C
(2)$(x+2)^{4}$
(3)设$x^{2}-6x=y$,则原式$=(y+8)(y+10)+1=y^{2}+18y+80+1=y^{2}+18y+81=(y+9)^{2}=(x^{2}-6x+9)^{2}=[(x-3)^{2}]^{2}=(x-3)^{4}$.

8. 已知长方形的周长为 300 cm,两邻边长分别为$x$ cm,$y$ cm,且$$ x^{3}+x^{2}y-4xy^{2}-4y^{3}= 0 $$.求这个长方形的面积.

答案： 解:因为$x^{3}+x^{2}y-4xy^{2}-4y^{3}=x^{2}(x+y)-4y^{2}(x+y)=(x+y)(x+2y)(x-2y)=0$,所以$x=-y$或$x=-2y$或$x=2y$.因为$x＞0,y＞0$,所以$x=2y$.由题意,得$x+y=150$.解方程组$\left\{\begin{array}{l} x=2y,\\ x+y=150\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l} x=100,\\ y=50.\end{array}\right.$所以$xy=100×50=5000(cm^{2})$.故长方形的面积为$5000cm^{2}$.