《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

6. [过程性学习]分解因式：
(1)$4x^{2}+4x + 1$；(2)$\frac{1}{3}x^{2}-2x + 3$.
小聪与小明的解答过程如下：
小聪：
解：$4x^{2}+4x + 1$
$=(4x + 1)^{2}$.
小明：
解：$\frac{1}{3}x^{2}-2x + 3$
$=x^{2}-6x + 9$
$=(x - 3)^{2}$.

他们做对了吗？若有错,则请你帮忙纠正过来.

答案： 他们都做错了.正确的解法:
(1)$4x^2+4x+1=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 1+1^2=(2x+1)^2$.
(2)$\frac{1}{3}x^2-2x+3=\frac{1}{3}(x^2-6x+9)=\frac{1}{3}(x-3)^2$.

7. 探究与应用
微课
【特例感知】数学课上,老师在黑板上写出了下列式子分解因式的结果.
$x^{2}+2x + 1= (x + 1)^{2}$；
$4x^{2}-4x + 1= (2x - 1)^{2}$；
$9x^{2}-30x + 25= (3x - 5)^{2}$.
【探究发现】小明观察以上多项式,发现：$2^{2}= 4×1×1$；$(-4)^{2}= 4×4×1$；$(-30)^{2}= 4×9×25$.
【归纳猜想】若多项式 $ax^{2}+bx + c(a＞0,c＞0)$ 是完全平方式,则 $a$,$b$,$c$ 之间存在的数量关系为 $b^{2}= 4ac$.
【验证结论】(1)小明验证猜想的过程如下,请补全小明的验证过程：
解：$ax^{2}+bx + c = a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c = a(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}})-\frac{b^{2}}{4a}+c = a(x +$$\frac{b}{2a}$$)^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$.
因为 $ax^{2}+bx + c$ 是完全平方式,
所以$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=0$,即 $b^{2}= 4ac$.
【拓展探究】
(2)若多项式 $(n + 1)x^{2}-(2n + 6)x+(n + 6)$ 是一个完全平方式,求 $n$ 的值.
因为多项式$(n+1)x^2-(2n+6)x+(n+6)$是一个完全平方式,所以$[-(2n+6)]^2=4(n+1)(n+6)$,即$24n+36=28n+24$,解得$n=3$.
(3)若多项式 $9y^{2}+4$ 加上一个含字母 $y$ 的单项式就能变形为一个完全平方式,请直接写出所有满足条件的单项式.
所有满足条件的单项式为$12y$或$-12y$或$\frac{81}{16}y^4$.

答案：
(1)$\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}=0$；
(2)因为多项式$(n+1)x^2-(2n+6)x+(n+6)$是一个完全平方式,所以$[-(2n+6)]^2=4(n+1)(n+6)$,即$24n+36=28n+24$,解得$n=3$.
(3)所有满足条件的单项式为$12y$或$-12y$或$\frac{81}{16}y^4$. 提示:当添加的含字母$y$的单项式为中间项时,因为$9y^2+4=(3y)^2+2^2$,所以此时需要添加的单项式为$\pm 2\cdot (3y)\cdot 2=\pm 12y$.当添加的含字母$y$的单项式为平方项时,$9y^2$为中间项.因为$\frac{81}{16}y^4+9y^2+4=(\frac{9}{4}y^2+2)^2$,所以此时需要添加的单项式为$\frac{81}{16}y^4$.