《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

4. 如图8,已知$C为射线AD$上一点,$\angle DAP = \angle B$,$PA = PB$,$AP与BC相交于点M$,$\angle APB = 2\angle CPA$。求证$BM = AC + CM$。

答案： 证明:在BC上截取BG=AC,连接PG.
在△ACP和△BGP中,
{PA=PB,
∠PAC=∠B,
AC=BG,
∴ △ACP≌△BGP(SAS).
∴ PG=PC,∠CPA=∠GPB.
又
∵ ∠APB=2∠CPA,
∴ ∠CPM=∠GPM.
在△CPM和△GPM中,
{PC=PG,
∠CPM=∠GPM,
PM=PM,
∴ △CPM≌△GPM(SAS).
∴ CM=GM.
又
∵ BM=BG+GM,
∴ BM=AC+CM.

5. 探究与证明
【初步分析】(1)如图9,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$,$E$,$F分别是边BC$,$CD$上的点,当$\angle EAF = \dfrac{1}{2}\angle BAD$时,$EF$,$BE$,$FD$之间的数量关系为______。(只思考解题思路,完成填空即可,不必书写证明过程)
【类比探究】(2)如图10,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle B + \angle ADC = 180^{\circ}$,$E$,$F分别是边BC$,$CD$延长线上的点,当$\angle EAF = \dfrac{1}{2}\angle BAD$时,探究$EF$,$BE$,$FD$之间的数量关系。

答案：

(1)BE+FD=EF
提示:如图39,延长CB至点M,使BM=DF,连接AM.
∵ ∠ABC=∠D=90°,∠ABC+∠1=180°,
∴ ∠1=∠D.
在△ABM和△ADF中,
{AB=AD,
∠1=∠D,
BM=DF,
∴ △ABM≌△ADF(SAS).
∴ AM=AF,∠3=∠2.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠EAF+∠2+∠4=∠BAD,
∴ ∠2+∠4=∠EAF.
∴ ∠EAM=∠EAF.
在△MAE和△FAE中,
{AM=AF,
∠EAM=∠EAF,
AE=AE,
∴ △MAE≌△FAE(SAS).
∴ EF=EM.
∵ EM=BM+BE=DF+BE,
∴ BE+FD=EF.

(2)如图40,在BE上截取BM=DF,连接AM.
∵ ∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADF=180°,
∴ ∠B=∠ADF.
在△ABM和△ADF中,
{BM=DF,
∠ABM=∠ADF,
AB=AD,
∴ △ABM≌△ADF(SAS).
∴ AM=AF,∠BAM=∠DAF.
∴ ∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD,即∠BAD=∠MAF.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠EAF+∠EAM=∠MAF,
∴ ∠EAF=∠EAM.
在△AEM和△AEF中,
{AM=AF,
∠EAM=∠EAF,
AE=AE,
∴ △AEM≌△AEF(SAS).
∴ EM=EF,即BE−BM=EF.
∴ BE−FD=EF,即EF+FD=BE.