《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

8. 若多项式 $a^{2}+b^{2}+m$ 可以运用平方差公式分解因式,则 $m$ 可能是(D).
A.$2cb$
B.$-2ab$
C.$3b^{2}$
D.$-5b^{2}$

答案： D 提示：$a^{2}+b^{2}-5b^{2}=a^{2}-4b^{2}=(a+2b)(a-2b)$.

9. 若关于 $x$ 的二次三项式 $4x^{2}+8x+m^{2}$ 是一个完全平方式,则 $m$ 的值为(D).
A.1
B.2
C.5 或 -3
D.2 或 -2

答案： D

10. 《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在现代,利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法. 例如,当 $x= 8$ 时,计算多项式 $3x^{3}-4x^{2}-35x+8$ 的值,按照秦九韶算法,可先将多项式 $3x^{3}-4x^{2}-35x+8$ 一步步地进行改写：$3x^{3}-4x^{2}-35x+8= x(3x^{2}-4x-35)+8= x[x(3x-4)-35]+8$.按改写后的方式计算与直接计算相比节省了乘法次数,使计算量减少.参考上述计算方法,当 $x= -8$ 时,多项式 $x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+1$ 的值为(6401).
A.6 401
B.6 399
C.-6 399
D.-6 401

答案： A 提示：$x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+1=x^{2}(x^{2}-4x+4)+1=x^{2}[x(x-4)+4]+1$. 当 $x=-8$ 时，原式$=(-8)^{2}×[-8×(-8-4)+4]+1=6401$.

11. 分解因式：$a^{2}-2a= $ $a(a-2)$.

答案： $a(a-2)$

12. [2024 山东淄博中考] 若多项式 $4x^{2}-mxy+9y^{2}$ 能用完全平方公式分解因式,则 $m$ 的值是 $\pm 12$.

答案： $\pm 12$

13. [生活情境]已知小明、小亮两名同学家的菜地都是正方形,小明同学家菜地的周长长 96 m,他们两家的菜地的面积相差 $960m^{2}$,则小明和小亮同学家菜地的边长之和为 40 m.

答案： 40 提示：设小明同学家菜地的边长为 $a$ m，小亮同学家菜地的边长为 $b$ m.根据题意，$4a-4b=4(a-b)=96$，$a^{2}-b^{2}=960$，则$(a-b)=24$，$(a+b)\cdot(a-b)=960$，所以$a+b=40$.

14. [教材第 134 页“数学活动”变式]在日常生活中,密码随处可见.其中有一种通过分解因式生成的密码,既独特又便于记忆.例如,对于多项式 $x^{4}-y^{4}$,其分解因式的结果是 $(x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y)$,若取 $x= 9$,$y= 9$,则各个因式的值是 $x^{2}+y^{2}= 162$,$x+y= 18$,$x-y= 0$,于是就把“162180”作为一个六位数的密码.对于多项式 $x^{3}-xy^{2}$,若取 $x= 21$,$y= 5$,则用上述方法产生的密码是 212616.(写出一个即可)

答案： （答案不唯一）212616 提示：$x^{3}-xy^{2}=x(x^{2}-y^{2})=x(x+y)(x-y)$，当$x=21$，$y=5$时，$x=21$，$x+y=26$，$x-y=16$.所以产生的密码是212616或211626或262116或261621或162126或162621.

15. (每小题 5 分,共 15 分)分解因式：
(1)$3m^{3}n-27mn^{3}$；
(2)$3a^{2}-6ab+3b^{2}$；
(3)$9a^{2}(x-y)+4b^{2}(y-x)$.

答案： （1）原式$=3mn\cdot m^{2}-3mn\cdot 9n^{2}=3mn(m^{2}-9n^{2})=3mn(m+3n)(m-3n)$；（2）原式$=3(a^{2}-2ab+b^{2})=3(a-b)^{2}$；（3）原式$=9a^{2}(x-y)-4b^{2}(x-y)=(x-y)(9a^{2}-4b^{2})=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$.