《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

1. 课堂上老师在黑板上布置了这样一道题“用平方差公式分解下列各式：①$a^{2}-b^{2}$,②$x^{2}-1$,③$-x^{2}-y^{2}$,④$4m^{2}-25n^{2}$。”小聪马上发现了其中有一道题目错了,这道题的序号是(C)。
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： C

2. 下列各式因式分解正确的是(D)。
A.$x^{2}-4y^{2}= (x+4y)(x-4y)$
B.$x^{2}-9= (x-3)^{2}$
C.$1-(x-2)^{2}= (x-1)(x-3)$
D.$9a^{2}-9b^{2}= (3a+3b)(3a-3b)$

答案： D

3. 利用因式分解计算：$999^{2}-1= $998000。

答案： 998000

4. [教材第 129 页练习第 2 题变式]分解因式：
(1)$a^{2}-100$；
(2)$16x^{4}-9y^{2}$；
(3)$(t-3)^{2}-(t+4)^{2}$。

答案：
(1)原式$=a^{2}-10^{2}=(a+10)(a-10)$.
(2)原式$=(4x^{2})^{2}-(3y)^{2}=(4x^{2}+3y)(4x^{2}-3y)$.
(3)原式$=[(t-3)-(t+4)][(t-3)+(t+4)]=-7(2t+1).$

5. [2024 四川凉山中考]已知$a^{2}-b^{2}= 12$,且$a-b= -2$,则$a+b= $-6。

答案： -6 提示:$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=-2(a+b)=12$,所以$a+b=-6.$

6. 如右栏图,学校劳动实践基地有两块边长分别为$a$,$b(a＞b)$的正方形稻田A,$B$,其中不能使用的面积为$M$(阴影部分)。
(1)用含$a$,$M的式子表示稻田A$中能使用的面积为$a^{2}-M$。
(2)已知$a+b= 10$,$a-b= 5$,求$A比B$多出的使用面积。
解:A 比 B 多出的使用面积为$(a^{2}-M)-(b^{2}-M)=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=10×5=50.$

答案：
(1)$a^{2}-M$
(2)解:A 比 B 多出的使用面积为$(a^{2}-M)-(b^{2}-M)=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=10×5=50.$

7. [教材第 136 页复习题 17 第 7 题变式]理解与应用
【阅读材料】如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”。例如,$4= 2^{2}-0^{2}$,$12= 4^{2}-2^{2}$,$20= 6^{2}-4^{2}$,因此$4$,$12$,$20$都是“神秘数”。
【特例分析】(1)因为$28=$8$^{2}-$6$^{2}$,所以$28$是“神秘数”。
【探究发现】(2)设两个连续偶数为$2k和2k+2$(其中$k$取非负整数),由这两个连续偶数构造的“神秘数”是$8$的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差的结果(取正整数)是“神秘数”吗？为什么？
(2)两个连续偶数构成的"神秘数"不是8的倍数,理由如下:$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1)$.由于$2k+1$是奇数,奇数的4倍不是8的倍数,所以两个连续偶数构成的"神秘数"不是8的倍数.
(3)设两个连续的奇数分别为$2n-1,2n+1$(n 为正整数),则$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=[(2n+1)+(2n-1)]·[(2n+1)-(2n-1)]=8n$.此数是8的倍数,而由(2)知"神秘数"不是8的倍数,所以两个连续奇数的平方差不是"神秘数".

答案：
(1)8 6
(2)两个连续偶数构成的"神秘数"不是8的倍数,理由如下:$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1)$.由于$2k+1$是奇数,奇数的4倍不是8的倍数,所以两个连续偶数构成的"神秘数"不是8的倍数.
(3)设两个连续的奇数分别为$2n-1,2n+1$(n 为正整数),则$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=[(2n+1)+(2n-1)]·[(2n+1)-(2n-1)]=8n$.此数是8的倍数,而由
(2)知"神秘数"不是8的倍数,所以两个连续奇数的平方差不是"神秘数".