《2025年新课程学习与测评同步学习八年级数学上册人教版》

例1 如图3,在△ABC中,AB= AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC= BD,AD= DE= EB。求∠A的度数。

答案： 设∠A=x。
∵AD=DE，
∴△ADE是等腰三角形，∠AED=∠A=x（等边对等角）。
∵DE=EB，
∴△DEB是等腰三角形，设∠EBD=∠EDB=y，则∠AED=∠EBD+∠EDB（三角形外角性质），即x=2y，得y=x/2。
在△ADE中，∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-2x（三角形内角和定理）。
∵点D在AC上，
∴∠ADE+∠EDB+∠BDC=180°（平角定义），则∠BDC=180°-∠ADE-∠EDB=180°-(180°-2x)-x/2=3x/2。
∵BC=BD，
∴△BDC是等腰三角形，∠BCD=∠BDC=3x/2（等边对等角）。
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠BCD=3x/2（等边对等角）。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠BCD=180°（三角形内角和定理），即x+3x/2+3x/2=180°，解得x=45°。
∠A=45°

1. [2024甘肃兰州中考]如图4,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 130°,DA⊥AC,则∠ADB的度数为(B)。

A.100°
B.115°


C.130°
D.145°

答案： B

2. [数学文化]“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的。借助如图5所示的“三等分角仪”能三等分任一角,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O相连并可绕O转动,点C固定,OC= CD= DE,点D,E可在槽中滑动。若∠BDE= 75°,则∠O= 25°。

答案： 25

例2 如图6,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E。

(1)已知∠CAD= 26°,求∠ABE的度数。
(2)已知CD= 3cm,求BC的长。

答案：
(1)38°；
(2)6cm

BE⊥AC→∠ABE= 90°-∠BAC
AB= AC→AD平分∠BAC→∠BAC= 2∠CAD
AD⊥BC→AD平分BC→BC= 2CD

答案： 根据题意与图示，等腰三角形性质推导如下：
已知 $AB = AC$，
根据等腰三角形“三线合一”性质，
$AD$ 平分 $\angle BAC$，
即：$\angle BAC = 2\angle CAD$，
$AD$ 垂直于 $BC$，
即：$AD \perp BC$，
且 $AD$ 平分 $BC$，
即：$BC = 2CD$，
又因为 $BE \perp AC$，
所以$\angle ABE = 90° - \angle BAC$。