《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

【例 1】(第二届睿达杯数学竞赛一试)已知a,b为常数,若ax+b＞0的解集为x＜$\frac{1}{3}$,则bx-a＜0的解集是x＜-3.

答案： 【解析】：
首先，我们需要理解题目给出的条件：$ax+b＞0$的解集为$x＜\frac{1}{3}$。
这个条件告诉我们，当我们将$x$的值替换为小于$\frac{1}{3}$的数时，$ax+b$的结果大于0。
同时，我们注意到不等号的方向发生了改变，这通常意味着我们在解不等式的过程中除以了一个负数，从而可以推断出$a＜0$。
接着，我们可以通过将$x=\frac{1}{3}$代入不等式$ax+b＞0$，并令其等于0（因为$\frac{1}{3}$是不等式解集的边界），来求解出$a$和$b$的关系：
即$a × \frac{1}{3} + b = 0$。
化简后我们得到$-\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$，也可以写作$\frac{b}{a} = -\frac{1}{3}$。
由此我们可以推断出$b$的符号与$a$相反，因为它们的比值是负的。
由于我们已经知道$a＜0$，所以$b＞0$。
最后，我们需要求解不等式$bx-a＜0$。
由于我们已经知道$b＞0$，所以我们可以直接将不等式改写为$x＜\frac{a}{b}$。
将之前求得的$\frac{b}{a} = -\frac{1}{3}$代入，得到$x＜-3$。
【答案】：
$x＜-3$

【例 2】使得不等式$\frac{9}{17}$＜$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{8}{15}$对唯一的整数k成立的最大正整数n为______144.

答案： 解：由不等式$\frac{9}{17} ＜ \frac{n}{n + k} ＜ \frac{8}{15}$，
对$\frac{9}{17} ＜ \frac{n}{n + k}$取倒数，得$\frac{17}{9} ＞ \frac{n + k}{n} = 1 + \frac{k}{n}$，即$\frac{k}{n} ＞ \frac{17}{9} - 1 = \frac{8}{9}$（此处原解析分子分母颠倒，应为$\frac{17}{9} ＞ 1 + \frac{k}{n}\Rightarrow\frac{k}{n} ＜ \frac{8}{9}$，修正后继续）；
对$\frac{n}{n + k} ＜ \frac{8}{15}$取倒数，得$\frac{15}{8} ＜ \frac{n + k}{n} = 1 + \frac{k}{n}$，即$\frac{k}{n} ＞ \frac{15}{8} - 1 = \frac{7}{8}$；
综上，$\frac{7}{8} ＜ \frac{k}{n} ＜ \frac{8}{9}$。
因为$k$为唯一整数，所以$\frac{k - 1}{n} \leq \frac{7}{8}$且$\frac{k + 1}{n} \geq \frac{8}{9}$。
两式相减：$\frac{k + 1}{n} - \frac{k - 1}{n} \geq \frac{8}{9} - \frac{7}{8}$，即$\frac{2}{n} \geq \frac{64 - 63}{72} = \frac{1}{72}$，故$n \leq 144$。
当$n = 144$时，$\frac{7}{8} × 144 = 126 ＜ k ＜ \frac{8}{9} × 144 = 128$，则$k = 127$，唯一整数解。
答案：144

1.(广东广州大学附中自主招生)若不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+1}{3}-\frac{5x-3}{6}＜1,\textcircled{1}\\-5\leqslant 2x-1\leqslant 5\textcircled{2}\end{array} \right.$的解集是关于x的一元一次不等式ax＞-1解集的一部分,则a的取值范围是(C).
A.0＜a≤1
B.-$\frac{1}{3}$＜a＜0
C.-$\frac{1}{3}$＜a≤1
D.-$\frac{1}{3}$＜a≤1且a≠0

答案： 解：解不等式①：
$\begin{aligned}\frac{2x+1}{3}-\frac{5x-3}{6}&＜1\\2(2x+1)-(5x-3)&＜6\\4x+2-5x+3&＜6\\-x+5&＜6\\-x&＜1\\x&＞-1\end{aligned}$
解不等式②：
$\begin{aligned}-5&\leq 2x-1\leq 5\\-5+1&\leq 2x\leq 5+1\\-4&\leq 2x\leq 6\\-2&\leq x\leq 3\end{aligned}$
原不等式组的解集为$-1 ＜ x \leq 3$。
当$a ＞ 0$时，$ax ＞ -1$的解集为$x ＞ -\frac{1}{a}$，要使$-1 ＜ x \leq 3$是其一部分，则$-\frac{1}{a} \leq -1$，解得$a \leq 1$，即$0 ＜ a \leq 1$。
当$a ＜ 0$时，$ax ＞ -1$的解集为$x ＜ -\frac{1}{a}$，要使$-1 ＜ x \leq 3$是其一部分，则$-\frac{1}{a} ＞ 3$，解得$a ＞ -\frac{1}{3}$，即$-\frac{1}{3} ＜ a ＜ 0$。
当$a = 0$时，$0 ＞ -1$恒成立，解集为全体实数，符合题意，但选项中无此情况。
综上，$-\frac{1}{3} ＜ a \leq 1$。
答案：C

2.如果关于x的不等式(2m-n)x-m-5n＞0的解集为x＜$\frac{10}{7}$,那么关于x的不等式mx＞n(m≠0)的解集为$x＜\frac{13}{45}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察不等式的解集以及参数求解。
首先，我们需要根据给定的不等式$(2m-n)x-m-5n＞0$的解集$x＜\frac{10}{7}$，来求解参数$m$和$n$的关系。
将不等式$(2m-n)x-m-5n＞0$变形，得到：
$(2m-n)x＞m+5n$
由于题目给出的解集是$x＜\frac{10}{7}$，说明在不等式两边同时除以$(2m-n)$时，不等号的方向发生了改变，因此我们可以推断出$2m-n＜0$。
接着，我们将$\frac{m+5n}{2m-n}$设为$\frac{10}{7}$，即：
$\frac{m+5n}{2m-n} = \frac{10}{7}$
通过交叉相乘，得到：
$7(m+5n) = 10(2m-n)$
$7m+35n = 20m-10n$
$45n = 13m$
由此，我们可以得到$m$和$n$的关系：
$n = \frac{13}{45}m$
并且由于$2m-n＜0$，我们可以得出$m＜0$。
接下来，我们要求解不等式$mx＞n$。
将$n = \frac{13}{45}m$代入不等式$mx＞n$中，由于$m＜0$，所以在不等式两边同时除以$m$时，不等号方向发生改变，得到：
$x＜\frac{13}{45}$
【答案】：
$x＜\frac{13}{45}$

3.已知x,y,z为三个非负有理数,且满足3x+2y+z= 5,x+y-z= 2,若S= 2x+y-z,求S的最大值与最小值.

答案： 解：联立方程组：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 5 \\x + y - z = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}y = 7 - 4x \\z = 5 - 3x\end{cases}$
因为 $x,y,z$ 为非负有理数，所以：
$\begin{cases}x \geq 0 \\7 - 4x \geq 0 \\5 - 3x \geq 0\end{cases}$
解得 $0 \leq x \leq \frac{5}{3}$。
$S = 2x + y - z$，将 $y = 7 - 4x$，$z = 5 - 3x$ 代入得：
$S = 2x + (7 - 4x) - (5 - 3x) = x + 2$
当 $x = 0$ 时，$S_{\text{min}} = 0 + 2 = 2$；
当 $x = \frac{5}{3}$ 时，$S_{\text{max}} = \frac{5}{3} + 2 = \frac{11}{3}$。
答：$S$ 的最大值为 $\frac{11}{3}$，最小值为 $2$。

4.设$a_1,a_2,···,aₖ$是k个互不相等的,大于0的自然数,而且它们的和为2025,求k的最大值.

答案： 解：要使k最大，需取最小的k个互不相等的正整数，其和为$\frac{k(k+1)}{2}$。
令$\frac{k(k+1)}{2} \leq 2025$，即$k^2 + k - 4050 \leq 0$。
解方程$k^2 + k - 4050 = 0$，判别式$\Delta = 1 + 4×4050 = 16201$，$\sqrt{16201} = 127$。
解得$k = \frac{-1 \pm 127}{2}$，正根为$k = 63$。
当$k = 63$时，$\frac{63×64}{2} = 2016$，剩余$2025 - 2016 = 9$。
将9加在最大数63上，得63 + 9 = 72，此时数列为1,2,...,62,72，满足互不相等且和为2025。
故k的最大值为63。
答案：63