《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

10. 分类讨论思想 若△ABC 中两边长之比为 2:3,三边长都是整数,且周长为 18 cm,求各边的长.

答案： 设三角形两边长分别为2x cm,3x cm,第三边长为y cm,则2x+3x+y=18,即5x+y=18.①当x=1时,y=13,则三边长分别为2 cm,3 cm和13 cm.
∵2+3=5＜13,
∴不能组成三角形;②当x=2时,y=8,则三边长分别为4 cm,6 cm和8 cm.
∵4+6＞8,
∴能组成三角形;③当x=3时,y=3,则三边长分别为6 cm,9 cm和3 cm.
∵3+6=9,
∴不能组成三角形.综上所述,各边的长分别为4 cm,6 cm和8 cm.

11. 中考新考法 证明几何结论 (2025·杭州萧山区期中)如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,BE,CD 相交于点 O.
(1)若∠A= 50°,∠BOD= 70°,∠C= 25°,求∠B 的度数；
(2)试猜想∠BOC 与∠A+∠B+∠C 之间的关系,并证明你的猜想.

答案：
(1)
∵∠A=50°,∠C=25°,
∴∠BDO=180°-∠ADC=180°-(180°-∠A-∠C)=∠A+∠C=75°,
∴∠B=180°-∠BDO-∠BOD=180°-75°-70°=35°.
(2)猜想∠BOC=∠A+∠B+∠C.理由如下:由
(1)知∠BDO=∠A+∠C,同理得∠BOC=180°-∠BOD=180°-(180°-∠BDO-∠B)=∠BDO+∠B,
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C.

12.(2025·金华义乌绣湖中学期中)当三角形中一个内角β是另一个内角α的$\frac{1}{2}$时,我们称此三角形为“希望三角形”,其中角α称为“希望角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为 54°,那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______54°或84°或108°.

答案： 54°或84°或108° [解析]①54°角是α,则“希望角”度数为54°;②54°角是β,则$\frac{1}{2}α=β=54°,$所以,“希望角”α=108°;③54°角既不是α也不是β,则α+β+54°=180°,所以$,α+\frac{1}{2}α+54°=180°,$解得α=84°.综上所述,“希望角”度数为54°或84°或108°.

13. 如图,AB//CD,BC 平分∠ABD 交 AD 于点 E,∠1= ∠3.
(1)如图(1),若∠3= α,则用α表示∠CDB= 180°-2α；
(2)如图(1),若 AD⊥BD 于点 D,∠DAB= 40°,则∠3 的度数为25°；
(3)如图(2),∠BAD 与∠BDF 的平分线交于点 P,若∠ADB= 70°,求∠P 的度数.55°

答案：
(1)180°-2α [解析]
∵BC平分∠ABD,
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3,∠3=α,
∴∠1=∠2=∠3=α.又AB//CD,
∴∠CDB=180°-∠1-∠2=180°-2α.
(2)25 [解析]
∵AD⊥BD,
∴∠ADB=90°.
∵∠DAB=40°,
∴∠ABD=90°-∠DAB=50°.
∵BC平分∠ABD,
∴$∠1=∠2=\frac{1}{2}∠ABD=\frac{1}{2}×50°=25°.$
∵∠1=∠3,
∴∠3=25°.
(3)
∵AB//DC,
∴∠BAD+∠ADF=180°.
∵∠ADB=70°,
∴∠BAD+∠BDF=180°-∠ADB=110°.
∵∠BAD与∠BDF的平分线交于点P,
∴$∠DAP=\frac{1}{2}∠BAD,∠BDP=\frac{1}{2}∠BDF,$
∴$∠DAP+∠BDP=\frac{1}{2}(∠BAD+∠BDF)=55°,$
∴∠P=180°-∠ADB-(∠DAP+∠BDP)=180°-70°-55°=55°.

14.(2024·滨州中考)一副三角板如图(1)摆放,把三角板 AOB 绕公共顶点 O 顺时针旋转至图(2),即AB//OD 时,∠1 的大小为75°.

答案： 75 [解析]设OB与CD交于点E.由已知可得,∠D=30°,∠B=45°,
∵AB//OD,∠B=∠BOD=45°,
∴∠1=180°-∠OED=180°-(180°-∠BOD-∠D)=∠BOD+∠D=45°+30°=75°.