《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1. 传统文化 赵爽弦图 (2025·金华东阳期中)著名的赵爽弦图(如图(1),其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为$c^{2}$,也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab+(a-b)^{2}$,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.

(1)图(2)为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图(2)推导勾股定理.
(2)如图(3),在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,$AB= AC$,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,且$CH\perp AB$.测得$CH= 0.8$千米,$HB= 0.4$千米,求新路CH比原路CA少多少千米?
(3)如图(4),在$\triangle ABC$中,$AC= 10$,$BC= 17$,$AB= 21$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：
1.
(1)梯形ABCD的面积可以表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^{2}+ab+\frac{1}{2}b^{2},$也可以表示为$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2},$
∴$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+ab+\frac{1}{2}b^{2},$即a^{2}+b^{2}=c^{2}.
(2)设AC=AB=x千米,
∴AH=AB - BH=(x - 0.4)千米.
∵CA^{2}=CH^{2}+AH^{2},
∴x^{2}=0.8^{2}+(x -0.4)^{2},
∴x =1,即CA =1千米,
∴CA - CH=1 -0.8 =0.2(千米).故新路CH比原路CA少0.2千米.
(3)如图,过点C作$CH\perp AB,$垂足为H.设AH = y,
∴BH=AB - AH=21 - y,
∵$CH\perp AB,AB =21,AC =10,BC =17,$
∴CH^{2}=CA^{2}-AH^{2},CH^{2}=CB^{2}-BH^{2},
∴CA^{2}-AH^{2}=CB^{2}-BH^{2},即10^{2}-y^{2}=17^{2}-(21 - y)^{2},
∴y =6,
∴AH =6,
∴$CH=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.$
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×8×21 =84.$

2. (四川成都石室中学自主招生)地震是人类一直在研究并试图战胜的自然灾害,四川是地震频发区,为更好地研究地震的破坏性,石室中学创新基地的同学做了如下模拟监测实验.如图为地面(AB)以下至地震波反射面(MN)的横截面示意图,其中,O为震源,A为震中,B为观测站,$OA\perp AB$,$AB// MN$.从O会同时发出两种震波:直达波(路径为OB)和反射波(路径为OCB),它们的传播速度相同.已知震源深度$h= 14$km,震中至观测站距离$AB= 48$km.
(1)求直达波传播的距离OB;
(2)已知反射波(路径OCB)满足$\angle OCM= \angle BCN$,地震波的传播速度为5km/s,观测站收到两种地震波的时间差为2s,求地面与反射面的距离l.

答案： 2.
(1)
∵$OA\perp AB$,
∴$\angle OAB =90^{\circ}$,
∵$OA = h =14$km,$AB =48$km,
∴$OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{14^{2}+48^{2}}=50$(km).
(2)延长AO交MN于点P,延长BC交AO的延长线于点Q.
∵直达波和反射波传播速度相同,地震波速度$ =5$km/s,观测站收到两种地震波的时间差为2s,
∴$\frac{OC + BC}{5}-\frac{OB}{5}=2$.
∵$OB =50$km,
∴$OC + BC =60$km.
∵$\angle OCM=\angle BCN$,$\angle BCN=\angle PCQ$,
∴$\angle OCM=\angle PCQ$.
∵$CP\perp OQ$,
∴$OC = QC$,
∴$OP = PQ$,
∴$QB = QC + CB = OC + CB =60$km.在Rt△AQB中,$AQ^{2}+AB^{2}=QB^{2}$.
∵$AB =48$km,$QB =60$km,解得$AQ =36$km,
∴$OQ = AQ - OA =22$(km),
∴$OP =11$km,
∴$l = AP = AO + OP =14 +11 =25$(km).

3. 如图,将长方形ABCD沿AF折叠,使点B落在DC边的点E处,已知$AB= 15$cm,$BC= 12$cm,求FC的长.

答案： 3. 在Rt△ADE中,$\angle D =90^{\circ}$,$AD = BC =12$cm,$AE = AB =15$cm,$DE^{2}=AE^{2}-AD^{2}$,
∴$DE=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$(cm).
∴$EC = DC - DE =15 -9 =6$(cm).设$FC = x$cm,则$FB = EF=(12 - x)$cm,在Rt△EFC中,$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}$,即$(12 - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$,解得$x =4.5$,
∴$FC$的长为$4.5$cm.