《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

【例】(宁波自主招生)五个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过(a,0),(3,3)的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分,则a的值是(D).
A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 解：过点$C(3,3)$作$CB\perp x$轴于点$B$，$CD\perp y$轴于点$D$。
五个边长为1的正方形总面积为$5×1×1 = 5$，直线将其分成面积相等的两部分，每部分面积为$\frac{5}{2}$。
由图可知，$S_{梯形OACD}-3 = S_{\triangle ABC}-1$（其中$S_{梯形OACD}-3$和$S_{\triangle ABC}-1$分别表示直线分割后两部分图形在特定区域内的面积）。
因为$A(a,0)$，$C(3,3)$，所以$CD = 3$，$OD = 3$，$OA = a$，$OB = 3$，$BC = 3$，$AB=3 - a$。
梯形$OACD$的面积为$\frac{(OA + CD)× OD}{2}=\frac{(a + 3)×3}{2}$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{AB× BC}{2}=\frac{(3 - a)×3}{2}$。
则$\frac{(a + 3)×3}{2}-3=\frac{(3 - a)×3}{2}-1$，
解得$a=\frac{2}{3}$。
答案：D

1. [全国初中数学竞赛(广东中山)预赛]在平面直角坐标系内,点$A(n,1-n)$一定不在(C).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： C

2. (江苏苏州自主招生)已知a,b为实数,且$a-b= -4,a\geqslant -3b$,小红和小慧分别得出自己的结论.小红：点$(a,b)$必在第二象限.小慧：$-\frac{a}{b}$有最大值为3,则对于她们的说法,你的判断是(B).
A.小红说得对,小慧说得不对
B.小红说得不对,小慧说得对
C.两人说的都对
D.两人说的都不对

答案： B [解析]
∵a-b=-4,
∴a=b-4.
∵a≥-3b,
∴b-4≥-3b,解得b≥1,
∴b-4≥-3,
∴a≥-3,
∴点(a,b)在第一、二象限,
∴小红说得不对.
∵a≥-3b,
∴$\frac{a}{b}$≥-3,
∴-$\frac{a}{b}$≤3,
∴-$\frac{a}{b}$有最大值3,
∴小慧说得对.故选B.

3. (全国初中数学竞赛)在平面直角坐标系$xOy$中,对于任意两点$P_1(x_1,y_1)与P_2(x_2,y_2)$,我们重新定义这两点的“距离”.
①当$|y_1-y_2|\leqslant |x_1-x_2|$时,$|x_1-x_2|为点P_1与点P_2$的“远距离”$D_{远}$,即$D_{远}(P_1,P_2)= |x_1-x_2|$；当$|x_1-x_2|＜|y_1-y_2|$时,$|y_1-y_2|为点P_1与点P_2$的“远距离”$D_{远}$,即$D_{远}(P_1,P_2)= |y_1-y_2|$.
②点$P_1与点P_2$的“总距离”$D_{总}为|x_1-x_2|与|y_1-y_2|$的和,即$D_{总}(P_1,P_2)= |x_1-x_2|+|y_1-y_2|$.
根据以上材料,解决下列问题：
(1)已知$A(3,2)则D_{远}(A,O)= $3,$D_{总}(A,O)= $5；
(2)若点$B(x,5-x)$在第一象限,且$D_{远}(B,O)= 3$,求点B的坐标；
∵B(x,5-x)在第一象限,
∴$\begin{cases} x＞0, \\ 5-x＞0, \end{cases}$解得0＜x＜5.
∵O(0,0),
∴|x-0|=x,|5-x-0|=5-x.①当5-x≤x,即x≥$\frac{5}{2}$时,
∵$D_{远}(B,O)=3$,
∴x=3,
∴点B的坐标为(3,2);②当5-x＞x,即x＜$\frac{5}{2}$时,
∵$D_{远}(B,O)=3$,
∴5-x=3,解得x=2,
∴点B的坐标为(2,3).综上所述,点B的坐标为(3,2)或(2,3).
(3)若点$C(x,y)(x\geqslant 0,y\geqslant 0)$,且$D_{总}(C,O)= 4$,已知点$M(4,0),N(0,-2)$,点C向左平移$2x$个单位长度得到点E,且$S_{\triangle EMN}= 10$,求点C的坐标.
∵C(x,y)(x≥0,y≥0),且$D_{总}(C,O)=4$,
∴x+y=4.点C向左平移2x个单位长度得到点E,
∴E(-x,y).
∵M(4,0),N(0,-2),$S_{\triangle EMN}=10$,
∴$S_{\triangle EMN}=S_{\triangle OME}+S_{\triangle OMN}+S_{\triangle ONE}=10$,
∴$\frac{1}{2}×4× y+\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×2×|-x|=10$,联立方程组解得$\begin{cases} x=2, \\ y=2, \end{cases}$
∴点C的坐标为(2,2).

答案：
(1)3 5
(2)
∵B(x,5-x)在第一象限,
∴$\begin{cases} x＞0, \\ 5-x＞0, \end{cases}$解得0＜x＜5.
∵O(0,0),
∴|x-0|=x,|5-x-0|=5-x.①当5-x≤x,即x≥$\frac{5}{2}$时,
∵$D_{远}(B,O)=3$,
∴x=3,
∴点B的坐标为(3,2);②当5-x＞x,即x＜$\frac{5}{2}$时,
∵$D_{远}(B,O)=3$,
∴5-x=3,解得x=2,
∴点B的坐标为(2,3).综上所述,点B的坐标为(3,2)或(2,3).
(3)
∵C(x,y)(x≥0,y≥0),且$D_{总}(C,O)=4$,
∴x+y=4.点C向左平移2x个单位长度得到点E,
∴E(-x,y).
∵M(4,0),N(0,-2),$S_{\triangle EMN}=10$,
∴$S_{\triangle EMN}=S_{\triangle OME}+S_{\triangle OMN}+S_{\triangle ONE}=10$,
∴$\frac{1}{2}×4× y+\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×2×|-x|=10$,联立方程组解得$\begin{cases} x=2, \\ y=2, \end{cases}$
∴点C的坐标为(2,2).