《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1.(2025·山东济宁期末)如图,已知∠A= 60°,∠B= 40°,∠C= 30°,则∠D+∠E等于(C).
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

答案： C [解析]连结 BC，
∵∠A = 60°，∠ABE = 40°，∠ACD = 30°，
∴∠EBC + ∠DCB = 180° - ∠A - ∠ABE - ∠ACD = 180° - 60° - 40° - 30° = 50°.
∵∠D + ∠E = ∠EBC + ∠DCB，
∴∠D + ∠E = 50°.
故选 C.

变式1.1 小慧一笔画成了如图所示的图形,若∠A= 60°,则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( ).


A.180°
B.240°
C.270°
D.300°

答案：
B [解析]如图，在△BCM中，∠B + ∠C + ∠BMC = 180°，
∴∠BMC = 180° - (∠B + ∠C).
∵∠AMN = ∠BMC，
∴∠AMN = 180° - (∠B + ∠C).
在△DEN中，∠D + ∠E + ∠DNE = 180°，
∴∠DNE = 180° - (∠D + ∠E).
∵∠ANM = ∠DNE，
∴∠ANM = 180° - (∠D + ∠E).
在△AMN中，∠A + ∠AMN + ∠ANM = 180°，
∴∠A + 180° - (∠B + ∠C) + 180° - (∠D + ∠E) = 180°，
∴∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ∠A + 180°.
∵∠A = 60°，
∴∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 240°. 故选 B.

2.在△ABC中,BE为△ABC的高,∠A= 50°,∠CBE= 20°,则∠ABC= ______.

答案：
20°或60° [解析]依照题意画出图形，如图所示.
∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB = 90°.
在△ABE中，∠AEB = 90°，∠A = 50°，
∴∠ABE = 180° - ∠AEB - ∠A = 180° - 90° - 50° = 40°.
当△ABC为钝角三角形时，∠ABC = ∠ABE - ∠CBE = 40° - 20° = 20°；
当△ABC为锐角三角形时，∠ABC = ∠ABE + ∠CBE = 40° + 20° = 60°，
∴∠ABC = 20°或60°.

变式2.1 在△ABC中,∠A= 50°,BD,CE是它的两条高,直线BD,CE交于点F,∠DFE= ______.

答案：
130°或50° [解析]当△ABC为锐角三角形时，如图
(1)，

∵∠A = 50°，BD，CE是它的两条高，
∴∠ADF = ∠AEF = 90°，
∴∠DFE = 130°；
当△ABC为钝角三角形时，如图
(2)或
(3)，

∵∠A = 50°，BD是它的高，
∴∠ABD = 40°.
∵CE是△ABC的高，
∴∠DFE = 50°.
综上所述，∠DFE = 130°或50°.

(1)∠ABO的度数为30°,△AOB不是(填"是"或"不是")"智慧三角形";
(2)若∠OAC= 20°,求证:△AOC为"智慧三角形";
∵∠AOC = 60°，∠OAC = 20°，
∴∠ACO = 100°，∠AOC = 3∠OAC，
∴△AOC为"智慧三角形".
(3)当△ABC为"智慧三角形"时,求∠OAC的度数.(直接写出答案)
80°或52.5°或97.5°或112.5°

答案：
(1)30 不是 [解析]
∵AB⊥OM，
∴∠OAB = 90°.
∵∠MON = 60°，
∴∠ABO的度数为30°，
∴△AOB为直角三角形，不是“智慧三角形”.
(2)
∵∠AOC = 60°，∠OAC = 20°，
∴∠ACO = 100°，∠AOC = 3∠OAC，
∴△AOC为“智慧三角形”.
(3)
∵△ABC为“智慧三角形”，
①当点C在线段OB上时，
∵∠ABO = 30°，
∴∠BAC + ∠BCA = 150°，∠ACB ＞ 60°，∠BAC ＜ 90°.
不确定△ABC中哪个角是哪个角的3倍，要分类讨论
(ⅰ)当∠ABC = 3∠BAC时，∠BAC = 10°，
∴∠OAC = 80°；
(ⅱ)当∠ABC = 3∠ACB时，
∴∠ACB = 10°；
∴此种情况不存在；
(ⅲ)当∠BCA = 3∠BAC时，
∴∠BAC + 3∠BAC = 150°，
∴∠BAC = 37.5°，
∴∠OAC = 52.5°；
(ⅳ)当∠BCA = 3∠ABC时，
∴∠BCA = 90°，
∴∠BAC = 60°，
∴∠OAC = 90° - 60° = 30°(舍去，此时为直角三角形，不符合题意)；
(ⅴ)当∠BAC = 3∠ABC时，
∴∠BAC = 90°，
∴∠OAC = 0°(舍去)；
(ⅵ)当∠BAC = 3∠ACB时，
∴3∠ACB + ∠ACB = 150°，
∴∠ACB = 37.5°，
∴此种情况不存在.
②当点C在线段OB的延长线上时，
∵∠ABO = 30°，
∴∠ABC = 150°，
∴∠ACB + ∠BAC = 30°.
(ⅰ)当∠ACB = 3∠BAC时，
∴3∠BAC + ∠BAC = 30°，
∴∠BAC = 7.5°，
∴∠OAC = 90° + ∠BAC = 97.5°.
(ⅱ)当∠BAC = 3∠BCA时，
∴3∠BCA + ∠BCA = 30°，
∴∠BCA = 7.5°，
∴∠BAC = 3∠BCA = 22.5°，
∴∠OAC = 90° + 22.5° = 112.5°.
综上所述，当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或97.5°或112.5°.

3.(2025·陕西汉中汉台区期末)如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,且BO,CO交于点O,CE为外角∠ACD的平分线,交BO的延长线于点E.记∠BAC= ∠1,∠E= ∠2,已知∠2= 25°.求∠1与∠BOC的度数.
]

答案：
∵CE为∠ACD 的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACD，∠DBE = $\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠DCE是△BCE的外角，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠2 = ∠DCE - ∠DBE = $\frac{1}{2}$(∠ACD - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠1，
∴∠1 = 2∠2 = 2×25° = 50°.
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO = $\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠OCE = $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ACD) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°.
∵∠BOC是△COE 的外角，
∴∠BOC = ∠OCE + ∠2 = 90° + 25° = 115°.