《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

3 (2025·安徽淮南凤台期末)如图,已知在△ABC 中,AB= AC= 10 cm,BC= 8 cm,点 D 为 AB 的中点.如果点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由点 C 向 A 点运动.
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后,△BPD 与△CQP 是否全等? 请说明理由.
(2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP 全等?

答案：
(1)结论:△BPD与△CQP全等.理由如下:
经过1秒后,PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm.
∵△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
在△BPD和△CQP中,{BD=PC,∠DBP=∠PCQ,BP=CQ}
∴△BPD≌△CQP(SAS).
(2)设点Q的运动速度为x(x≠3)cm/s,经过t s,△BPD与△CQP全等,则可知PB=3t cm,PC=(8 - 3t)cm,CQ=xt cm.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
根据全等三角形の判定定理SAS可知,有两种情况:①当BD=PC,BP=CQ时;②当BD=CQ,BP=PC时,两三角形全等;
①当BD=PC且BP=CQ时,8 - 3t=5且3t=xt,解得x=3,
∵x≠3,
∴舍去此情况;
②当BD=CQ,BP=PC时,5=xt且3t=8 - 3t,解得x=$\frac{15}{4}$.
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$ cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等.

4. 分类讨论思想 如图,CA⊥AB,垂足为 A,射线 BM⊥AB,垂足为 B,AB= 12 cm,AC= 6 cm. 动点 E 从点 A 出发以 3 cm/s 的速度沿射线 AN 运动,动点 D 在射线 BM 上,随着点 E 运动而运动,始终保持 ED= CB. 若点 E 的运动时间为 t s(t＞0),则当 t 为多少时,△DEB 与△BCA 全等?

答案： ①当点E在线段AB上,且AC=BE时,△ACB≌△BED,
∵AC=6cm,
∴BE=6cm.
∴AE=12 - 6=6(cm),
∴点E的运动时间为6÷3=2(秒);
②当点E在射线BN上,AC=BE时,△ACB≌△BED,
∵AC=BE=6cm,
∴AE=12+6=18(cm),
∴点E的运动时间为18÷3=6(秒);
③当点E在线段AB上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,这时E在A点未动,因此时间为0秒(舍去此情况);
④当点E在射线BN上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,此时AE=12+12=24(cm),
∴点E的运动时间为24÷3=8(秒).
综上,t的值为2或6或8.

5. (2024·黑龙江齐齐哈尔梅里斯区期末)在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= BC,直线 MN 经过点 C,且 AD⊥MN 于点 D,BE⊥MN 于点 E.
(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图(1)的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;
②DE= AD+BE.
(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图(2)的位置时,(1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

精题详解

答案：
(1)①
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°.
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE.
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB,AC=BC}
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②
∵△ADC≌△CEB,
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立,此时应有DE=AD - BE.理由如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°.
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE.
又AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,
∴△ADC≌△CEB.
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE - CD=AD - BE.