《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

13. 若a,b是等腰三角形ABC的两边长,且满足关系式$(a-2)^2+b^2= 8b-16,$则△ABC的周长是______10.

答案： 10 [解析]由题意可知,(a - 2)² + b² = b - 16,即(a - 2)² + b² - 8b + 16 = 0,
∴(a - 2)² + (b - 4)² = 0,
∴a = 2,b = 4,分情况讨论：①若2是腰长，则三角形的三边长为2,2,4,不能组成三角形；②若2是底边长，则三角形的三边长为2,4,4,能组成三角形.所以△ABC的周长为2 + 4 + 4 = 10.
思路引导　本题考查的是等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系,关键是熟练掌握三角形三边关系.

14. (2025·北京昌平区期末)如图,在△ABC中,AB= AC,已知AB= 10,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于16,则BC的长为______.

6

答案： 6 [解析]
∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴AE = BE.
∵△BCE的周长等于16,
∴△BCE的周长为BE + CE + BC = AE + CE + BC = AC + BC = 16.
∵AB = 10,AC = AB,
∴BC = 16 - 10 = 6.

15. 如图,等边三角形ABC的边长为12 cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t= ______s时,△AMN为等腰三角形.

答案：
4或16 [解析]如图
(1),设点M,N运动x s后,AN = AM,由题意知,AN = (12 - 2x)cm,AM = x cm,
∴12 - 2x = x,解得x = 4,
∴点M,N运动4 s后,△AMN是等腰三角形.

如图
(2),假设△AMN是等腰三角形,作∠MAN的平分线交MN于点D,
∴AM = AN,∠1 = ∠2.在△MAD和△NAD中,$\begin{cases}AM = AN\\∠1 = ∠2\\AD = AD\end{cases}$,
∴△MAD≌△NAD(SAS),
∴∠AMD = ∠AND,
∴∠AMC = ∠ANB.
∵△ACB是等边三角形,
∴∠C = ∠B.在△ACM和△ABN中,$\begin{cases}∠C = ∠B\\∠AMC = ∠ANB\\AC = AB\end{cases}$,
∴△ACM≌△ABN(AAS),
∴CM = BN.设当点M,N在边BC上运动,M,N运动的时间为t s时,△AMN是等腰三角形,
∴CM = (t - 12)cm,NB = (36 - 2t)cm.
∵CM = NB,
∴t - 12 = 36 - 2t,解得t = 16.故假设成立.故当点M,N运动时间为4 s或16 s时,△AMN为等腰三角形.

16. 方程思想 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分,求这个等腰三角形的腰长和底边的长.

答案： 设腰长为x,底边长为y,则$\begin{cases}x+\frac{x}{2}=15\\y+\frac{x}{2}=16\end{cases}$或$\begin{cases}x+\frac{x}{2}=16\\y+\frac{x}{2}=15\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 10\\y = 11\end{cases}$或$\begin{cases}x = \frac{32}{3}\\y = \frac{29}{3}\end{cases}$.经检验,都符合三角形的三边关系.因此这个三角形的腰长为10,底边长为11或腰长为$\frac{32}{3}$,底边长为$\frac{29}{3}$.

17. 已知一个等腰三角形的周长是30厘米.
(1)若腰长是底边长的2.5倍,求各边的长.
(2)若其中一边长为6厘米,则其他两边长各是多少？

答案：
(1)设底边长为a cm,则腰长为2.5a cm.
∵三角形的周长是30 cm,
∴2.5a + 2.5a + a = 30,
∴a = 5,则2.5a = 12.5,
∴等腰三角形的三边长是5 cm,12.5 cm,12.5 cm.
(2)
∵长为6 cm的边可能是腰，也可能是底,
∴要分两种情况讨论.①当等腰三角形的底边长为6 cm时,腰长为(30 - 6)÷2 = 12(cm),则等腰三角形的三边长为6 cm,12 cm,12 cm,能构成三角形;②当等腰三角形的腰长为6 cm时,底边长为30 - 2×6 = 18(cm),则等腰三角形的三边长为6 cm,6 cm,18 cm,不能构成三角形.故等腰三角形另外两边的长为12 cm,12 cm.

18. 如图,在△ABC中,AB= AC,P是BC边上任意一点,PF⊥AB于点F,PE⊥AC于点E,BD为△ABC的高线,BD= 8. 求PF+PE的值.

答案：
如图,连结AP.
∵BD为△ABC的高线,
∴S$_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$BD·AC.
∵PE⊥AC,PF⊥AB,AB = AC,

∴S$_{\triangle ABC}$ = S$_{\triangle ABP}$ + S$_{\triangle ACP}$ = $\frac{1}{2}$AB·PF + $\frac{1}{2}$AC·PE = $\frac{1}{2}$AC·(PE + PF),
∴BD = PF + PE,
∴PF + PE = 8.
利用等面积法建立等式从而化简得到

19. (2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE= 40°.AE= AC,BC= BD,则∠ACB 的度数为______.

100°

答案： 100° [解析]
∵AC = AE,BC = BD,
∴设∠AEC = ∠ACE = x°,∠BDC = ∠BCD = y°,
∴∠A = 180° - 2x°,∠B = 180° - 2y°.
∵∠ACB + ∠A + ∠B = 180°,∠BDC + ∠AEC + ∠DCE = 180°,
∴∠ACB + (180° - 2x) + (180° - 2y) = 180°,180° - (x + y) = ∠DCE,
∴∠ACB + 360° - 2(x + y) = 180°,
∴∠ACB + 2∠DCE = 180°.
∵∠DCE = 40°,
∴∠ACB = 100°.
解后反思　本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理,利用三角形内角和为180°列出方程是解题的关键.