《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1. 一线三等角模型 如图,∠A= ∠B= 90°,E 是 AB 上的一点,且 AE= BC,∠1= ∠2.
(1)Rt△ADE 与 Rt△BEC 全等吗？并说明理由.
(2)△CDE 是不是直角三角形？并说明理由.

答案： 1.
(1)全等.理由如下:
∵∠1=∠2,
∴DE=CE.在Rt△ADE和Rt△BEC中,{DE=EC,AE=BC},
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
(2)△CDE是直角三角形.理由如下:
∵Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠A=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
∴∠BEC+∠AED=90°.
∴∠DEC=90°.
∴△CDE是直角三角形.

2. 已知∠ACB= 90°,AC= BC,D 为 AB 的中点,E 为 AB 边上的一点.作 BF⊥CE 于点 F,交 CD 于点 G,过点 A 作 AH⊥CE 于点 H.
(1)如图(1),求线段 BF,AH,FH 的关系；
(2)如图(2),连结 FD,DH,试判断△FDH 的形状；
(3)如图(3),延长 AH,CD 交于点 M,求证：BE= CM.

答案： 2.
(1)
∵BF⊥CE,AH⊥CE,
∴∠AHC=∠CFB=90°.
∵∠ACH+∠BCF=90°,∠BCF+∠CBF=90°,
∴∠ACH=∠CBF.在△BFC和△CHA中,{∠BFC=∠CHA,∠CBF=∠ACH,CB=AC},
∴△BFC≌△CHA(AAS).
∴BF=CH,CF=AH.
∵CH=CF+FH,
∴BF=AH+FH.故线段BF,AH,FH的关系为BF=AH+FH.
(2)△FDH为等腰直角三角形.理由如下:
∵在Rt△ABC中,AC=BC,D为AB的中点,
∴CD⊥AB,CD=$\frac{1}{2}$AB=AD=BD,
∴∠CDE=90°.在Rt△AEH和Rt△CDE中,∠HAD+∠AEH=90°,∠CED+∠FCD=90°,且∠AEH=∠CED,
∴∠HAD=∠FCD.在△AHD和△CFD中,{AD=CD,∠HAD=∠FCD,AH=CF},
∴△AHD≌△CFD(SAS).
∴HD=FD,∠ADH=∠CDF.又∠CDF+∠FDE=90°,
∴∠FDE+∠EDH=90°,即∠FDH=90°.
∴△FDH为等腰直角三角形.
(3)由
(1)可知BF=CH,在Rt△CDE和Rt△BFE中,∠CED=∠BEF.
∴∠HCM=∠FBE.在△BFE与△CHM中,{∠FBE=∠HCM,BF=CH,∠BFE=∠CHM=90°},
∴△BFE≌△CHM(ASA).
∴BE=CM.

3. 截长补短模型 如图(1),△ABC 是等边三角形,△BDC 是顶角∠BDC= 120°的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60°角,角两边分别交 AB,AC 边于 M,N 两点,连结 MN.
(1)探究：线段 BM,MN,NC 之间的关系,并加以证明；(提示：看到这个问题后,小明猜想：BM+NC= MN,并且通过延长 AC 到点 E,使得 CE= BM,连结 DE,再证明三角形全等,请你按照小明的思路写出证明过程)
(2)若点 M 是 AB 的延长线上的一点,N 是 CA 的延长线上的点,其他条件不变,请你再探究线段 BM,MN,NC 之间的关系,在图(2)中画出图形,并说明理由.

答案：
3.
(1)MN=BM+NC.证明如下:如图
(1),延长AC至点E,使CE=BM,连结DE.
∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,
∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°.又BD=DC,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°.
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°.
∴∠MBD=∠ECD=90°.在△MBD与△ECD中,{BD=CD,∠MBD=∠ECD,BM=CE},
∴△MBD≌△ECD(SAS).
∴MD=ED,∠MDB=∠EDC.又∠MDB+∠MDC=120°,∠MDN=60°,
∴∠EDC+∠MDC=120°,∠MDN=∠EDN=60°.
∴△DMN≌△DEN(SAS).
∴MN=NE.又NE=NC+CE,BM=CE,
∴MN=BM+NC.
(2)MN=NC−BM.理由如下:如图
(2),在CA上截取CE=BM,学习运用第
(1)问方法,作辅助线,并证明
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°.又BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠BCD=∠CBD=30°.
∴∠MBD=∠ECD=90°.在△BMD和△CED中,{BM=CE,∠MBD=∠ECD,BD=CD},
∴△BMD≌△CED(SAS).
∴DM=DE.由
(1)知,∠MDN=∠EDN=60°.在△MDN和△EDN中,{ND=ND,∠MDN=∠EDN,MD=ED},
∴△MDN≌△EDN(SAS).
∴MN=NE=NC−CE=NC−BM.