《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

7. (2025·湖北武汉期中)如图,AD 是△ABC 的中线,AB= 8,AC= 4,则 AD 的取值范围是______.
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答案：
2＜AD＜6 [解析] 如图,延长AD至点H,使AD=DH,连结BH.

∵AD是△ABC的中线,
∴CD=BD.在△ADC和△HDB中,AD=HD,∠ADC=∠HDB,CD=BD,
∴△ADC≌△HDB(SAS),
∴AC=HB=4.在△ABH中,AB - HB＜AH＜AB+HB,
∴4＜2AD＜12,
∴2＜AD＜6.

8. 如图,已知 CD= AB,∠BAD= ∠BDA,AE 是△ABD 的中线.
(1)若 AB= 5,AD= 3,则 AE 的取值范围为______；
(2)求证:AC= 2AE.
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答案：

(1)1＜AE＜4 [解析] 如图,延长AE至点F,使EF=AE,连结BF,则AF=2AE.

∵AE是△ABD的中线,
∴BE=DE.在△ADE与△FBE中,AE=FE,∠AED=∠FEB,DE=BE,
∴△ADE≌△FBE(SAS),
∴DA=BF=3.在△ABF中,AB - BF＜AF＜AB+BF,
∴5 - 3＜2AE＜5+3,
∴1＜AE＜4.
(2)由
(1),得△ADE≌△FBE,
∴BF=DA,∠FBE=∠ADE.
∵∠ABF=∠ABD+∠FBE,∠BAD=∠BDA,
∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠CDA.在△ABF与△CDA中,AB=CD,∠ABF=∠CDA,BF=DA,
∴△ABF≌△CDA(SAS),
∴FA=AC.
∵FA=2AE,
∴AC=2AE.

9. (2025·山东济宁期中)如图,在△ABC 中,∠ABC= 70°,BD 平分∠ABC,点 P 为线段 BD 上一动点,Q 为边 AB 上一动点,当 AP+PQ 的值最小时,则∠APB 的度数是( ).

A.125°
B.130°
C.135°
D.140°
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答案：
A [解析] 在BC上截取BE=BQ,连结PE.
∵BD平分∠ABC,∠ABC=70°,
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°.在△PBQ和△PBE中,BQ=BE,∠PBQ=∠PBE,BP=BP,
∴△PBQ≌△PBE(SAS),
∴PE=PQ.
∴AP+PQ=AP+PE.
∴当A,P,E在同一直线上,且AE⊥BC时,AP + PE最小,即AP+PQ最小.过点A作AE⊥BC于点E,交BD于点P,如图.

∵∠AEB=90°,∠ABE=70°,
∴∠BAE=90° - ∠ABE=20°,
∴∠APB=180° - ∠ABP - ∠BAP=125°.故选A.

10. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 (2025·江西宜春期中)
阅读材料:截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等,补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,从而解决问题.依据上述材料,解答下列问题:如图(1),在△ABC 中,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,且∠B= 2∠C,求证:AB+BD= AC.
(1)为了证明结论“AB+BD= AC”,小亮在 AC 上截取 AE,使得 AE= AB,连结 DE,解答了这个问题,请按照小亮的思路写证明过程；(提示:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等)
(2)如图(2),在四边形 ABCD 中,已知∠BAD= 60°,∠D= 110°,∠ACD= 40°,∠ACB= 80°,CE 是△ABC 的高,AD= 10,EB= 2,求 AB 的长.
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答案：

(1)在AC上截取AE,使得AE=AB,连结DE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠B=∠AED,BD=ED.
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C.
∵∠AED是△DEC的一个外角,
∴∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC,
∴DE=CE,
∴BD=EC.
∵AE+EC=AC,
∴AB+BD=AC.
(2)如图,在AE上截取AF=AD,连结CF.

∵∠D=110°,∠ACD=40°,
∴∠DAC=180° - ∠D - ∠ACD=30°.
∵∠BAD=60°,
∴∠FAC=∠BAD - ∠DAC=30°,
∴∠DAC=∠FAC=30°.在△DAC和△FAC中,AD=AF,∠DAC=∠FAC,AC=AC,
∴△DAC≌△FAC(SAS),
∴∠AFC=∠D=110°.
∴∠CFE=180° - ∠AFC=70°.
∵∠ACB=80°,∠FAC=30°,
∴∠B=180° - ∠ACB - ∠FAC=70°,
∴∠B=∠CFE.
∵CE⊥AB,
∴∠CEF=∠CEB=90°,
∴CE=CE,
∴△CEF≌△CEB(AAS),
∴EF=EB,
∴BF=2EB=4.
∴AB=AF+BF=AD+2EB=10+4=14,
∴AB的长为14.