《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

12.(宁波自主招生)若关于 $x$ 的不等式 $(2m-n)x-m＞5n$ 的解集为 $x＜\frac{13}{4}$,则关于 $x$ 的不等式 $(m-n)x＞m+n$ 的解集为(D).
A.$x＜\frac{13}{4}$
B.$x＞\frac{13}{4}$
C.$x＞5$
D.$x＜5$

答案： 12.D [解析]不等式(2m−n)x−m＞5n,　变形,得(2m−n)x＞5n+m,　根据已知解集为x＜$\frac{13}{4}$,得到$\frac{m+5n}{2m−n}$=$\frac{13}{4}$,且2m−n＜0,即2m＜n,　整理,得4m+20n=26m-13n,即33n=22m,　整理,得3n=2m,即m=1.5n,则n＜0,　代入所求不等式,得0.5nx＞2.5n,解得x＜5.故选D.

13.(宁波兴宁中学自主招生)若对任意实数 $x$,不等式 $ax＞b$ 都成立,则 $a$,$b$ 的取值范围为 $a=0,b＜0.$

答案： 13.a=0,b＜0 [解析]
∵如果a≠0,不论a大于0还是小于0,对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的,
∴a=0,则左边式子ax=0,
∴b＜0一定成立，
∴a,b的取值范围为a=0,b＜0.

14. 解关于 $x$ 的不等式 $3mx＞9m(m\neq 0)$,并把它的解集在数轴上表示出来.

答案：
14.当m＞0时,x＞3.在数轴上表示如图
(1):　　　　　　　 　当m＜0时,x＜3.在数轴上表示如图
(2):　　　　　　

15.(2025·陕西西安碑林区期中)定义运算 $\min\{a,b\}$：当 $a\geq b$ 时,$\min\{a,b\}= b$；当 $a＜b$ 时,$\min\{a,b\}= a$；如：$\min\{4,0\}= 0$；$\min\{2,2\}= 2$；$\min\{-3,-1\}= -3$,根据该定义运算完成下列问题：
(1)$\min\{-3,2\}=$−3,当 $x\leq 2$ 时,$\min\{x,2\}=$x；
(2)若 $\min\{3x-1,-x+3\}= 3x-1$,求 $x$ 的取值范围.
根据题意,得3x−1≤−x+3,解得x≤1,即x的取值范围为x≤1.

答案： 15.
(1)−3 x 　
(2)根据题意,得3x−1≤−x+3,　解得x≤1,即x的取值范围为x≤1.

16.(2024·宁波鄞州实验中学期末)定义关于@的一种运算：$a@b= a+2b$,如 $2@3= 2+6= 8$.
(1)若 $3@x＜7$,且 $x$ 为正整数,求 $x$ 的值；
(2)若关于 $x$ 的不等式 $3(x+1)\leq 8-x$ 的解和 $x@a\leq 5$ 的解相同,求 $a$ 的值.

答案： 16.
(1)
∵3@x＜7,
∴3+2x＜7,解得x＜2.
∵x为正整数,
∴x=1.　
(2)解不等式3(x+1)≤8−x,得x≤$\frac{5}{4}$.　解不等式x@a≤5,得x≤5−2a,
∵关于x的不等式3(x+1)≤8−x的解和x@a≤5的解相同,
∴$\frac{5}{4}$=5−2a,解得a=$\frac{15}{8}$.

17. 已知 $|x-4|+(2x-y-3)^{2}= 0$,$z$ 为正整数且满足 $5xz-10＜3yz$,求 $z$ 的值.

答案： 17.因为|x−4|+(2x−y−3)²=0,　所以x−4=0且2x−y−3=0,解得x=4,y=5.　代入不等式5xz−10＜3yz,得20z−10＜15z,解得z＜2.　因为z为正整数,所以z的值为1.

18. 小明在学习时,遇到以下两题,被难住了,于是就和小华一起研究起来.
(1)不等式 $a(x-1)＞x+1-2a$ 的解集是 $x＜-1$,请确定 $a$ 的取值范围；
(2)如果不等式 $4x-3a＞-1$ 与不等式 $2(x-1)+3＞5$ 的解集相同,请确定 $a$ 的值.

答案： 18.
(1)去括号,得ax−a＞x+1−2a,　移项、合并同类项,得(a−1)x＞1−a.
∵不等式a(x−1)＞x+1−2a的解集是x＜−1,
∴a−1＜0,
∴a＜1.故a的取值范围为a＜1.　
(2)解不等式2(x−1)+3＞5,得x＞2.　解不等式4x−3a＞−1,得x＞$\frac{3a−1}{4}$.
∵不等式4x−3a＞−1与不等式2(x−1)+3＞5的解集相同,
∴$\frac{3a−1}{4}$=2,解得a=3.故a的值为3.