《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

18. 分类讨论思想 阅读以下材料：
已知两个正整数的和与积相等,求这两个正整数.
解：不妨设这两个正整数为a和b,且a≤b.
由题意,得ab= a+b,(*)
则ab= a+b≤b+b= 2b,所以a≤2.
因为a为正整数,所以a= 1或2.
①当a= 1时·,代入等式(*),得1·b= 1+b,b不存在;
②当a= 2时,代入等式(*),得2·b= 2+b,b= 2,
所以这两个正整数为2和2.
根据阅读材料的启示,思考是否存在三个正整数,它们的和与积相等.试说明你的理由.
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答案： 存在.理由如下：假设存在三个正整数，它们的和与积相等．不妨设这三个正整数为a，b，c,且a≤b≤c，则abc=a+b+c，（* )所以abc=a+b+c≤c+c+c=3c,所以ab≤3.若a≥2，则b≥a≥2，所以ab≥4，与ab≤3矛盾.因此a=1，b=1或2或3.
利用不等式确定其中一个数的取值,再分类讨论
①当a=1，b=1时，代入等式（* )，得1+1+c=1×1·c，c不存在;
②当a=1，b=2时,代入等式（* ) ,得1+2+c=1×2·c，c=3;③当a=1,b=3时,代入等式（* ) ,得1+3+c=1×3·c,c=2,与b≤c矛盾,舍去.故a=1,b=2,c=3,因此假设成立,即存在三个正整数1,2,3,它们 的和与积相等.

19. 整体思想 中考新考法 解题方法型阅读理解题 [提出问题]已知x-y= 2,且x＞1,y＜0,试确定x+y的取值范围.
[分析问题]先根据已知条件用一个量(如y)去表示另一个量(如x),然后根据题中已知量x的取值范围,构建另一个量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同理再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式的性质即可获解.
[解决问题]解：∵x-y= 2,∴x= y+2.
又x＞1,∴y+2＞1,∴y＞-1.
又y＜0,∴-1＜y＜0.①
同理,得1＜x＜2.②
由①+②,得-1+1＜y+x＜0+2,
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2.
[尝试应用]已知x-y=-3，且x<-1,y>1，求x+y的取值范围

答案：
∵x-y=-3,
∴x=y-3.又x＜-1,
∴y-3＜一1,
∴y＜2.又y＞1,
∴1＜y＜2.①同理,得-2＜x＜一1,②由①十②,得1-2＜y+x＜2-1,
∴x+y的取值范围是-1＜x+y＜1.

20. (2024·长春中考)不等关系在生活中广泛存在.如图,a,b分别表示两位同学的身高,c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是(A).

A.若a＞b,则a+c＞b+c
B.若a＞b,b＞c,则a＞c
C.若a＞b,c＞0,则ac＞bc
D.若a＞b,c＞0,则$\frac{a}{c}$＞$\frac{b}{c}$

答案： A ［解析］由题意,得a＞b,
∴a+c＞b+c,
∴题图中两人的对话体现 的数学原理是若a＞b,则a+c＞b+c.故选A.