《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

9.如图,在△ABC中,AB= AC,点 D 在边 AC上,且 AD= BD,过点 A 作 AE⊥BD,交 BD的延长线于点 E,若 AE= 6,BC= √40,则 BD的长为______.

答案：
$\frac{25}{4}$　[解析]过B作$BH\perp AC$于点H,如图，
∴$\angle E=\angle BHD = 90^{\circ}$.在$\triangle ADE$与$\triangle BDH$中,$\begin{cases}\angle E=\angle BHD\\\angle ADE=\angle BDH\\AD = BD\end{cases}$
∴$\triangle ADE\cong\triangle BDH(AAS)$,
∴$BH = AE = 6$.
∵$BC=\sqrt{40}$,
∴$CH=\sqrt{BC^{2}-BH^{2}} = 2$,
∴$AH = AC - 2$,
∵$AH^{2}+BH^{2}=AB^{2}$,$AB = AC$,
∴$(AC - 2)^{2}+6^{2}=AC^{2}$,
∴$AC = 10$,
∴$AH = 8$.
∵$BD^{2}=BH^{2}+DH^{2}$,
∴$BD^{2}=6^{2}+(8 - BD)^{2}$,
∴$BD=\frac{25}{4}$.

10.(温州自主招生)等腰三角形 ABC 的底边 BC= 8 cm,腰长 AB= 5 cm,一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以0.25 cm/s 的速度运动,当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时,点 P运动的时间应为______s.

答案：
7或25　[解析]过点A作$AD\perp BC$于点D.
∵$BC = 8$cm,
∴$BD = CD=\frac{1}{2}BC = 4$cm,
∴$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}} = 3$cm.分两种情况:当点P运动t秒后,$PA\perp AC$时，如图
(1),
∵$AP^{2}=PD^{2}+AD^{2}=PC^{2}-AC^{2}$,
∴$PD^{2}+3^{2}=(PD + 4)^{2}-5^{2}$,解得$PD = 2.25$.
∴$BP = 4 - 2.25 = 1.75 = 0.25t$,
∴$t = 7$s.当点P运动t秒后,$PA\perp AB$时,如图
(2),同理，得$PD = 2.25$cm,
∴$BP = 4 + 2.25 = 6.25 = 0.25t$,
∴$t = 25$s.综上，点P运动的时间为7s或25s.

11.(2025·宁波鄞州区期末)如图,在△ABC中,AD是 BC 边上的高线,CE 是 AB 边上的中线,AB= 2CD,点 F 是 CE 中点.
(1)求证:∠DCE= ∠ADF;
(2)若∠BAC= 90°,AE= 6,AC= 8,求 DF的长.

答案：

(1)连结DE,如图.
∵$AD$是BC边上的高线,
∴$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$.
∵$CE$是AB边上的中线,
∴$E$是AB边上的中点，
∴$AB = 2DE$.
∵$AB = 2CD$,
∴$CD = DE$,
∵点F是CE中点，
∴$DF\perp EC$,
∴$\angle DFC = 90^{\circ}$,
∴$\angle FDC+\angle DCF = 90^{\circ}$.
∵$\angle ADC = 90^{\circ}$,
∴$\angle FDC+\angle ADF = 90^{\circ}$,
∴$\angle DCE=\angle ADF$.
(2)
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$,在直角三角形ACE中,由勾股定理，得$EC=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$.
∵点F是CE中点,
∴$CF = 5$.
∵$\angle ADB = 90^{\circ}$,$E$是AB边上的中点，
∴$DE = AE = 6$,
∴$CD = DE = 6$.
∵$\angle DFC = 90^{\circ}$,在直角三角形CDF中,由勾股定理，得$DF=\sqrt{CD^{2}-CF^{2}}=\sqrt{6^{2}-5^{2}}=\sqrt{11}$.解后反思　本题考查了勾股定理，三角形的角平分线、中线和高，熟练运用勾股定理是解答本题的关键.

12. 数形结合思想 (2025·宁波期中改编)如图(1),纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸,我们可以把它剪开拼成一个正方形.

(1)拼成的正方形的面积为5,边长为$\sqrt{5}$.
(2)如图(2),以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形,以数轴上表示-1 的点为圆心,直角三角形的最大边为半径画弧,交数轴正半轴于点 A,那么点 A 表示的数是$\sqrt{5}-1$.
(3)如图(3),网格中每个小正方形的边长为1,若把阴影部分剪拼成一个正方形,那么新正方形的边长是多少?

根据图形,得$S_{阴影}=2×2×2×\frac{1}{2}+2×2×\frac{1}{2}=4 + 2 = 6$，即新的正方形的面积为6,新正方形的边长为$\sqrt{6}$.

答案：
(1)5 $\sqrt{5}$
(2)$\sqrt{5}-1$　[解析]由勾股定理,得$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$,
∴点A表示的数为$\sqrt{5}-1$.
(3)根据图形,得$S_{阴影}=2×2×2×\frac{1}{2}+2×2×\frac{1}{2}=4 + 2 = 6$，即新的正方形的面积为6,新正方形的边长为$\sqrt{6}$.

13.(2024·南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m＞n).若小正方形面积为$5,(m+n)^2= 21,$则大正方形面积为(B).

A.12
B.13
C.14
D.15

答案： B　[解析]由题意可知,中间小正方形的边长为$m - n$,
∴$(m - n)^{2}=5$,即$m^{2}+n^{2}-2mn = 5$①.
∵$(m + n)^{2}=21$,
∴$m^{2}+n^{2}+2mn = 21$②,①+②,得$2(m^{2}+n^{2})=26$,
∴大正方形的面积为$m^{2}+n^{2}=13$.故选B.