《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

8. (2025·江苏盐城亭湖区期末)如图,在△ABC 中,BE,CF 分别是 AC,AB 两边上的高,在 BE 上截取 BD= AC,在 CF 的延长线上截取 CG= AB,连结 AD,AG.
(1)求证：AD= AG.
(2)AD 与 AG 的位置关系如何？请说明理由.
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答案： 【解析】：
(1)本题可通过证明$\triangle ABD$和$\triangle GCA$全等，根据全等三角形的性质得到$AD = AG$。
(2)根据全等三角形的性质得到$\angle BAD=\angle G$，再结合直角三角形的性质推出$\angle G+\angle GAF = 90^{\circ}$，进而得出$AD$与$AG$的位置关系。
【答案】：
(1)证明：
∵$BE$，$CF$分别是$AC$，$AB$两边上的高
∴$\angle HFB=\angle HEC = 90^{\circ}$
∵$\angle AHF=\angle CHB$（对顶角相等）
∴$180^{\circ}-\angle HFB-\angle AHF=180^{\circ}-\angle HEC-\angle CHB$（三角形内角和为$180^{\circ}$）
即$\angle ABH=\angle ACH$
∵$\angle ABD + \angle ABH = 180^{\circ}$，$\angle GCA+\angle ACH = 180^{\circ}$
∴$\angle ABD=\angle GCA$
在$\triangle ABD$和$\triangle GCA$中
$\begin{cases}BD = AC\\\angle ABD=\angle GCA\\AB = GC\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle GCA(SAS)$
∴$AD = AG$
(2)$AD\perp AG$，理由如下：
由
(1)知$\triangle ABD\cong\triangle GCA$
∴$\angle BAD=\angle G$
∵$CF\perp AB$
∴$\angle G+\angle GAF = 90^{\circ}$
∴$\angle BAD+\angle GAF = 90^{\circ}$
即$\angle DAG = 180^{\circ}-(\angle BAD+\angle GAF)=90^{\circ}$
∴$AD\perp AG$

9. 方程思想 如图(1),AB= 4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC= BD= 3 cm. 点 P 在线段 AB 上以 1 cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 匀速运动,它们运动的时间为 t s.
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t= 1 时,△ACP 与△BPQ 是否全等？请说明理由,并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系.
(2)如图(2),将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB= ∠DBA= 60°”,其他条件不变. 设点 Q 的运动速度为 x cm/s,是否存在实数 x,使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在,求出相应的 x,t 的值；若不存在,请说明理由.

答案： 【解析】：
(1)当$t = 1$时，$AP = BQ = 1×1 = 1cm$，$AB = 4cm$，则$BP = AB - AP = 4 - 1 = 3cm$，又已知$AC = 3cm$，$BD = 3cm$，所以$AC = BP$，$AP = BQ$。
因为$AC\perp AB$，$BD\perp AB$，所以$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中，
$\begin{cases}AC = BP\\\angle A=\angle B\\AP = BQ\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$。
因为$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$，所以$\angle ACP=\angle BPQ$。
由于$\angle A = 90^{\circ}$，在$\triangle ACP$中，$\angle ACP+\angle APC = 90^{\circ}$，那么$\angle BPQ+\angle APC = 90^{\circ}$，所以$\angle CPQ = 180^{\circ}-(\angle BPQ+\angle APC)=90^{\circ}$，即$PC\perp PQ$。
(2)分两种情况讨论：
若$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$，则$AC = BP$，$AP = BQ$。
已知$AC = 3cm$，$AB = 4cm$，点$P$的运动速度为$1cm/s$，运动时间为$t s$，所以$AP = t cm$，$BP=(4 - t)cm$，点$Q$的运动速度为$x cm/s$，则$BQ = xt cm$。
由$AC = BP$可得$4 - t = 3$，解得$t = 1$。
再由$AP = BQ$可得$xt = t$，因为$t = 1$，所以$x = 1$。
若$\triangle ACP\cong\triangle BQP$，则$AC = BQ$，$AP = BP$。
由$AP = BP$，$AB = 4cm$，可得$t=\frac{1}{2}×4 = 2$。
由$AC = BQ$，$AC = 3cm$，$BQ = xt cm$，可得$xt = 3$，把$t = 2$代入得$2x = 3$，解得$x = 1.5$。
【答案】：
(1)$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$，理由：当$t = 1$时，$AP = BQ = 1cm$，$BP = 3cm$，$AC = 3cm$，$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，根据$SAS$判定定理可得$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$；$PC\perp PQ$。
(2)存在，当$x = 1$，$t = 1$或$x = 1.5$，$t = 2$时，$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等。

10. (2024·长沙中考)如图,点 C 在线段 AD 上,AB= AD,∠B= ∠D,BC= DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC= 60°,求∠ACE 的度数.
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答案： 【解析】：
(1)证明：
∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)
∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∵∠BAC=60°,
∴∠DAE=60°,
∵AD、AC在同一条直线上，
∴∠CAD=180°,
∴∠CAE=180°-∠BAC-∠DAE,
∴∠CAE=60°,
∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠ACE=∠E,
∵三角形内角和为180°,
∴∠ACE=(180°-∠CAE)÷2=60°。
【答案】：
(1)证明：
∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)∠ACE=60°