《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

10. 8字模型 如图,平面上六个点 A,B,C,D,E,F 构成一个封闭折线图形,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.

答案： 在△PAB,△RCD,△QEF中,∠A+∠B+∠APB=180°,①∠C+∠D+∠CRD=180°,②∠E+∠F+∠EQF=180°.③在△PQR中,∠QPR+∠PRQ+∠PQR=180°.④又∠APB=∠QPR,∠CRD=∠PRQ,∠EQF=∠PQR,①+②+③−④,得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

11. 如图摆放的一副学生用直角三角板,∠F= 30°,∠C= 45°,AB 与 DE 相交于点 G,当 EF//BC 时,求∠EGB 的度数.

答案：
如图，过点G作GH//BC.
∵EF//BC,
∴GH//BC//EF.
∴∠HGB=∠B,∠HGE=∠E. 在直角三角形DEF和直角三角形ABC中,∠F=30°,∠C=45°,
∴∠E=60°,∠B=45°.
∴∠HGB=∠B=45°,∠HGE=∠E=60°.
∴∠EGB=∠HGE+∠HGB=60°+45°=105°,

12. 归纳思想 [问题引入]
(1)如图(1),在△ABC 中,O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点,若∠A= α,则∠BOC= 90°+$\frac{1}{2}$α；(用α表示)
如图(2),∠CBO= 1/3∠ABC,∠BCO= 1/3∠ACB,∠A= α,则∠BOC= 120°+$\frac{1}{3}$α.(用α表示)
(2)如图(3),∠CBO= 1/3∠DBC,∠BCO= 1/3∠ECB,∠A= α,请猜想：∠BOC= 120°−$\frac{1}{3}$α.(用α表示)
[类比研究]
(3)BO,CO 分别是△ABC 的外角∠DBC,∠ECB 的 n 等分线,它们交于点 O,∠CBO= 1/n∠DBC,∠BCO= 1/n∠ECB,∠A= α,请猜想：∠BOC= $\frac{(n−1)×180°−α}{n}$.(用α表示)

答案：
(1)90°+$\frac{1}{2}$α　120°+$\frac{1}{3}$α
(2)120°−$\frac{1}{3}$α　
(3)$\frac{(n−1)×180°−α}{n}$[解析]
(1)
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),在△OBC中,∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$α.在△OBC中,∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−$\frac{1}{3}$(∠ABC+∠ACB)=180°−$\frac{1}{3}$(180°−∠A)=120°+$\frac{1}{3}$∠A=120°+$\frac{1}{3}$α.
(2)在△OBC中,∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−$\frac{1}{3}$(∠DBC+∠ECB)=180°−$\frac{1}{3}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°−$\frac{1}{3}$(∠A+180°)=120°−$\frac{1}{3}$∠A=120°−$\frac{1}{3}$α.
(3)在△OBC中,∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−$\frac{1}{n}$(∠DBC+∠ECB)=180°−$\frac{1}{n}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°−$\frac{1}{n}$(∠A+180°)=$\frac{(n−1)×180°−α}{n}$.

13. 中考新考法 规律探索 (2024·达州中考)如图,在△ABC 中$,AE_1,BE_1 $分别是内角∠CAB,外角∠CBD 的三等分线,且$∠E_1AD= 1/3∠CAB,∠E_1BD= 1/3∠CBD,$在$△ABE_1 $中$,AE_2,BE_2 $分别是内角$∠E_1AB,$外角$∠E_1BD $的三等分线,且$∠E_2AD= 1/3∠E_1AB,∠E_2BD= 1/3∠E_1BD,…,$以此规律作下去,若∠C= m°,则∠Eₙ= ______度.

$\frac{m}{3^{n}}$

答案： $\frac{m}{3^{n}}$