《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

13. 如图,每个小正方形的边长均为1,求证:△ABC是直角三角形.

答案：
∵AC²=3²+4²=25,AB²=1²+2²=5,BC²=2²+4²=20,
∴AC²=AB²+BC²,
∴△ABC是直角三角形.

14. 勾股树模型 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图(1)),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1)①请叙述勾股定理;
②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理.(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)

(2)①如图(4)(5)(6),以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,这三个图形中面积关系满足$S_1+S_2= S_3$的有3个;

②如图(7)所示,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为$S_1,S_2,$直角三角形面积为$S_3,$请判断$S_1,S_2,S_3$的关系并证明.

(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的士两直角边分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到如图(8)所示的“勾股树”.在如图(9)所示的“勾股树”的某部分图形中,设大正方形M的边长为定值m,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,则$a^2+b^2+c^2+d^2=$$m^2$.(结果可用含m的式子表示)

答案：
(1)①如果a,b为直角三角形的两条直角边的长,c为斜边的长,那么a²＋b²=c².(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.)②在题图
(1)中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即c²=1/2ab×4+(b - a)²,化简,得a²＋b²=c².在题图
(2)中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,即(a + b)²=c²+1/2ab×4,化简,得a²＋b²=c².在题图
(3)中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即1/2(a + b)(a + b)=1/2ab×2+1/2c²,化简,得a²＋b²=c².
(2)①3 ②S₁＋S₂=S₃.证明如下:
∵S₁＋S₂=1/2π(a/2)²+1/2π(b/2)²=1/8π(a² + b²),S₃=1/2π(c/2)²=1/8πc²,且a² + b²=c²,
∴S₁＋S₂=S₃.
(3)m²