《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

9. (2025·湖南永州祁阳期末)关于$x的不等式2x + a \leq 1$只有 2 个正整数解,则$a$的取值范围为(C).
A.$-5 ＜ a ＜ -3$
B.$-5 \leq a ＜ -3$
C.$-5 ＜ a \leq -3$
D.$-5 \leq a \leq -3$

答案： C [解析]解不等式$2x + a\leq1$,得$x\leq\frac{1 - a}{2}$,
∴不等式的两个正整数解一定是1和2,
∴根据题意,得$2\leq\frac{1 - a}{2}＜3$,解得$-5 ＜ a\leq-3$．故选C．

10. 关于$x的不等式组\begin{cases}2x ＜ 3(x - 3) + 1, \frac{3x + 2}{4} ＞ x + a\end{cases} $有四个整数解,则$a$的取值范围是( B ).
A.$-\frac{11}{4} ＜ a \leq -\frac{5}{2}$
B.$-\frac{11}{4} \leq a ＜ -\frac{5}{2}$
C.$-\frac{11}{4} \leq a \leq -\frac{5}{2}$
D.$-\frac{11}{4} ＜ a ＜ -\frac{5}{2}$

答案： B [解析]$\begin{cases}2x＜3(x - 3)+1,①\frac{3x + 2}{4}＞x + a.②\end{cases}$由①,得x ＞ 8;由②,得$x ＜ 2 - 4a$．
∴不等式组解集为$8 ＜ x ＜ 2 - 4a$．
∵关于x的不等式组$\begin{cases}2x＜3(x - 3)+1,\frac{3x + 2}{4}＞x + a\end{cases}$有四个整数解,
∴四个整数解为9,10,11,12,则$2 - 4a＞12$,$2 - 4a\leq13$,解得$-\frac{11}{4}\leq a＜-\frac{5}{2}$．故选B．

11. 中考新考法 新定义问题 (2024·德州宁津二模)定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程.若方程$8 - x = x$,$7 + x = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)都是关于x的不等式组\begin{cases}x ＜ 2x - m, \\x - 2 \leq m\end{cases} $的相伴方程,则$m$的取值范围为$2\leq m＜3$.

答案： $2\leq m＜3$ [解析]解方程$8 - x=x$,得x = 4,解方程$7 + x=3(x+\frac{1}{3})$,得x = 3,由$x - 2\leq m$,得$x\leq m + 2$,由$x ＜ 2x - m$,得x ＞ m．
∵x = 3,x = 4均是不等式组的解,
∴$m ＜ 3$且$m + 2\geq4$,
∴$2\leq m＜3$．

12. 已知关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}2x + y = k, \\x - 2y = 3\end{cases} $($k$为常数).
(1)若该方程组的解$x$,$y满足3x - y ＞ 4$,求$k$的取值范围；
(2)若该方程组的解$x$,$y$均为正整数,且$k \leq 12$,直接写出该方程组的解.

答案：
(1)$\begin{cases}2x + y=k,①\\x - 2y=3.②\end{cases}$由①+②,得$3x - y=k + 3$．
∵方程组的解x,y满足$3x - y＞4$,
∴$k + 3＞4$,解得k ＞ 1．
(2)$\begin{cases}2x + y=k,①\\x - 2y=3.②\end{cases}$①×2+②,得$5x=2k + 3$,
∴$x=\frac{2k + 3}{5}$,①-②×2,得$5y=k - 6$,
∴$y=\frac{k - 6}{5}$．
∵方程组的解x,y均为正整数,且$k\leq12$,
∴k = 11,
∴方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 1\end{cases}$．

13. 中考新考法 新定义问题 定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“蕴含不等式”.例如：不等式$x ＜ -3的解都是不等式x ＜ -1$的解,则$x ＜ -3是x ＜ -1$的“蕴含不等式”.
(1)在不等式$x ＞ 1$,$x ＞ 3$,$x ＜ 4$中,是$x ＞ 2$的“蕴含不等式”的是______$x＞3$；
(2)若$x ＞ -6是3(x - 1) ＞ 2x - m$的“蕴含不等式”,求$m$的取值范围；
解不等式$3(x - 1)＞2x - m$,得$x＞3 - m$．由题意,得$3 - m\leq-6$,解得$m\geq9$．故m的取值范围为$m\geq9$．
(3)若$x ＜ -2n + 4是x ＜ 2$的“蕴含不等式”,试判断$x ＜ -n + 3是否是x ＜ 2$的“蕴含不等式”,并说明理由.
$x＜-n + 3$是$x＜2$的“蕴含不等式”．理由如下:由题意,得$-2n + 4\leq2$,解得$n\geq1$,则$-n + 3\leq2$,
∴$x＜-n + 3$是$x＜2$的蕴含不等式．

答案：
(1)$x＞3$
(2)解不等式$3(x - 1)＞2x - m$,得$x＞3 - m$．由题意,得$3 - m\leq-6$,解得$m\geq9$．故m的取值范围为$m\geq9$．
(3)$x＜-n + 3$是$x＜2$的“蕴含不等式”．理由如下:由题意,得$-2n + 4\leq2$,解得$n\geq1$,则$-n + 3\leq2$,
∴$x＜-n + 3$是$x＜2$的蕴含不等式．

14. (2025·杭州钱塘区文海中学期中)已知方程组$\begin{cases}x + y = -7 - m, \\x - y = 1 + 3m\end{cases} 的解x$为非正数,$y$为负数.
(1)求$m$的取值范围；
(2)化简：$|m - 5| - |m + 2|$；
(3)在$m$的取值范围中,当$m$为何整数时,不等式$2mx + x ＜ 2m + 1的解集为x ＞ 1$？

答案：
(1)解方程组,得$\begin{cases}x=m - 3\\y=-2m - 4\end{cases}$．由题意,得$\begin{cases}m - 3\leq0,①\\-2m - 4＜0.②\end{cases}$解不等式①,得$m\leq3$,解不等式②,得$m＞-2$．
∴原不等式组的解集为$-2 ＜ m\leq3$．
(2)
∵$-2 ＜ m\leq3$,
∴$m - 5＜0$,$m + 2＞0$,则原式$=5 - m - m - 2=3 - 2m$．
(3)
∵不等式$2mx + x＜2m + 1$的解集为$x＞1$,
∴$2m + 1＜0$,且$-2 ＜ m\leq3$,
∴解得$-2 ＜ m＜-\frac{1}{2}$．
∴在$-2 ＜ m＜-\frac{1}{2}$范围内的整数m是-1．