《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

【例】如图,△ABC 是等边三角形,△BDC 是顶角为120°的等腰三角形,M 是 AB 延长线上一点,N 是 CA 延长线上一点,且∠MDN= 60°.试探究 BM,MN,CN 之间的数量关系,并给出证明.

解析:根据等腰三角形的性质,转化为构造全等三角形寻找等量关系是解决此类问题的关键.
答案:CN= MN+BM.证明如下:
如图,在 CN 上截取点 E,使 CE= BM,连结 DE.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ACB= ∠ABC= 60°.
又△BDC 为等腰三角形,且∠BDC= 120°,
∴BD= DC,∠DBC= ∠BCD= 30°.
∴∠ABD= ∠ABC+∠DBC= ∠ACB+∠BCD= ∠ECD= 90°.
∴∠MBD= 180°-∠ABD= 90°= ∠ECD.
在△MBD与△ECD中,$\left\{\begin{array}{l} BD= CD,\\ ∠MBD= ∠ECD,\\ BM= CE,\end{array} \right. $
∴△MBD≌△ECD(SAS).
∴MD= ED,∠MDB= ∠EDC.
又∠MDN= 60°,∠BDC= 120°,
∴∠EDN= ∠BDC-(∠BDN+∠EDC)
=∠BDC-(∠BDN+∠MDB)
=∠BDC-∠MDN= 120°-60°= 60°.
∴∠MDN= ∠EDN.
在△MND与△END中,$\left\{\begin{array}{l} ND= ND,\\ ∠MDN= ∠EDN,\\ MD= ED,\end{array} \right. $
∴△MND≌△END(SAS).
∴MN= EN.
∴CN= EN+CE= MN+BM.

答案： 【解析】：
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质。通过截取线段构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等，将线段进行转化。
首先，根据等边三角形和等腰三角形的性质，得到一些相等的角和边。
然后，通过在$CN$上截取点$E$，使$CE=BM$，构造出两个全等三角形$\triangle MBD$和$\triangle ECD$。
接着，利用全等三角形的性质，得到$MD=ED$，$\angle MDB=\angle EDC$。
再通过角度的计算，得到$\angle MDN=\angle EDN$。
最后，证明$\triangle MND$和$\triangle END$全等，从而得出$MN=EN$，进而得出$CN=MN+BM$。
【答案】：
证明：
在$CN$上截取点$E$，使$CE=BM$，连接$DE$。
∵$\triangle ABC$为等边三角形，
∴$\angle ACB=\angle ABC=60^\circ$。
又
∵$\triangle BDC$为等腰三角形，且$\angle BDC=120^\circ$，
∴$BD=DC$，$\angle DBC=\angle BCD=30^\circ$。
∴$\angle ABD=\angle ABC+\angle DBC=\angle ACB+\angle BCD=\angle ECD=90^\circ$。
∴$\angle MBD=180^\circ-\angle ABD=90^\circ=\angle ECD$。
在$\triangle MBD$与$\triangle ECD$中，
$\left\{\begin{array}{l}BD=CD,\\\angle MBD=\angle ECD,\\BM=CE.\end{array}\right.$
∴$\triangle MBD\cong\triangle ECD(SAS)$。
∴$MD=ED$，$\angle MDB=\angle EDC$。
又
∵$\angle MDN=60^\circ$，$\angle BDC=120^\circ$，
∴$\angle EDN=\angle BDC-(\angle BDN+\angle EDC)$
$=\angle BDC-(\angle BDN+\angle MDB)$
$=\angle BDC-\angle MDN$
$=120^\circ-60^\circ$
$=60^\circ$。
∴$\angle MDN=\angle EDN$。
在$\triangle MND$与$\triangle END$中，
$\left\{\begin{array}{l}ND=ND,\\\angle MDN=\angle EDN,\\MD=ED.\end{array}\right.$
∴$\triangle MND\cong\triangle END(SAS)$。
∴$MN=EN$。
∴$CN=EN+CE=MN+BM$。

1. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠CAB= 30°,∠ACB的平分线与∠ABC的邻补角平分线交于点E,则∠AEB的度数为(B).

A.50°
B.45°
C.40°
D.35°

答案： B [解析]过点 E 作 EM⊥AC 于点 M,作 EN⊥AB 于点 N,EF⊥BC 于点 F.
∵E 是∠ACB 的平分线与∠ABF 的平分线的交点，
∴EM=EF,EN=EF,
∴EM=EN.
∴AE 是∠CAB 的邻补角的平分线.
∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,∠BAM=150°,
∴∠BAE=$\frac{150°}{2}$=75°.
∵BE 是∠ABC 的邻补角的平分线,
∴∠ABE=60°,
∴∠AEB=180°-60°-75°=45°.

2. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= AE,BC= BF,则∠ECF= ______°.

45

答案： 45 [解析]设∠B=x°,则∠A=(90-x)°.
∵AC=AE,
∴∠ACE=∠AEC=$\frac{(180-90+x)°}{2}$=$\frac{(90+x)°}{2}$.
∵BC=BF,
∴∠BCF=∠BFC=$\frac{(180-x)°}{2}$,
∴∠ECF=∠ACE+∠BCF-∠ACB=$\frac{(90+x)°}{2}$+$\frac{(180-x)°}{2}$-90°=45°.

3.(第六届睿达杯数学竞赛一试改编)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC= ∠DAE= 90°,连结CE交AD于点F,连结BD交CE于点G,连结BE,CD,则下列结论:①CE= BD;②EC⊥BD;③∠ADC= 90°;④∠ADB= ∠AEB;⑤$S_{四边形BCDE}= \frac {1}{2}BD\cdot CE$;⑥$BC^{2}+DE^{2}= BE^{2}+CD^{2}$;⑦$S_{\triangle ABE}= S_{\triangle ACD}$.正确的有______(填序号).

①②④⑤⑥⑦

答案： 解：①②④⑤⑥⑦
证明：
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle BAD=\angle CAE\\ AD=AE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，①正确；
∵∠BGC=180°-∠GBC-∠GCB=180°-(∠ABC-∠ABD)-(∠ACB+∠ACE)=180°-∠ABC-∠ACB=90°，
∴EC⊥BD，②正确；
无法证明∠ADC=90°，③错误；
同理可证△ABE≌△ACD，
∴∠ADB=∠AEB，④正确；
$S_{四边形BCDE}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}BD\cdot CG+\frac{1}{2}BD\cdot EG=\frac{1}{2}BD\cdot CE$，⑤正确；
由勾股定理得$BC^2=AB^2+AC^2=2AB^2$，$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$，$BE^2=AB^2+AE^2$，$CD^2=AC^2+AD^2$，
∴$BC^2+DE^2=BE^2+CD^2$，⑥正确；
∵△ABE≌△ACD，
∴$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACD}$，⑦正确。

4.(江苏南京南师附中特长生)在直角三角形中,三边长均为两位正整数,其中一条直角边长的十位与个位交换位置后,数值等于斜边长.求斜边的长.

答案： 设斜边为10a+b,则有一直角边为10b+a,设另一直角边为m,其中a,b为一位正整数,m为两位正整数,显然a＞
b,由勾股定理,得m²=(10a+b)²-(10b+a)²=(11a+11b)(9a-9b)=3²×11(a+b)(a-b),
由3≤a+b≤17,1≤a-b≤8,
可知$\left\{\begin{array}{l} a+b=11,\\ a-b=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=6,\\ b=5,\end{array}\right. $
∴斜边的长为65.