《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

10. 如图,M,A,N 是直线 l 上的三点,AM= 3,AN= 5,P 是直线 l 外一点,且∠PAN= 60°,AP= 1,若动点 Q 从点 M 出发,向点 N 移动,移动到点 N 停止,在△APQ 形状变化过程中,依次出现的特殊三角形是(D).
A.直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B.直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C.等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D.等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形

答案： 10.D　[解析]动点Q从点M出发沿直线l向点N移动，当
AQ=AP=1时,△APQ是等腰三角形;当点Q运动到点
A的右侧且AQ=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$时，△APQ是直角三角形;当AQ=AP=1时,因为∠PAN=60°，此时△APQ是等边三角形;当AQ=2PA=2时，△APQ是直角三角形.
∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形.故选D.

11. 分类讨论思想 (2024·北京朝阳区期末)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠B= 45°,边 BC 在直线 l 上. 以点 C 为旋转中心,将直线 l 顺时针旋转到直线 l',交 AB 于点 E,以 CE 为直角边作直角三角形 CEF,使∠CEF= 90°,∠ECF= 30°,点 F 和点 A 始终在直线 l'的同侧. 设∠BCE= α(0°＜α＜90°).
(1)当 CE⊥AB 时,α= ______；
(2)当 α= 20°时,∠AEF= ______；
(3)当∠AEF= 30°时,求 α 的大小；
(4)当△CEF 与△ABC 重叠部分为直角三角形时,直接写出 α 的取值范围.

答案：
11.
(1)45°　[解析]当CE⊥AB时,则∠CEB=90°,
∵∠B=45°,
∴α=∠BCE=90°−∠B=45°.
(2)25°　[解析]当α=20°时，
∴∠AEC=∠B+∠BCE=
　45°+20°=65°.
∵∠CEF=90°,
∴∠AEF=∠CEF−∠AEC=25°.
(3)当∠AEF=30°时,
∴∠AEC=∠CEF−∠AEF=
　90°−30°=60°.
∵∠AEC=∠B+∠BCE,
∴60°=45°+α,
∴α=15°.
(4)如图
(1)，过点C作CH⊥AB,则∠BHC=90°.
　又∠B=45°,
∴∠BCH=90°−45°=45°.
　又∠CEF=90°,
∴有以下三种情况讨论如下:
　①当点E在线段BH上时，点F在△ABC的外部，
　因此当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时,CF 与CH重合，如图
(1)所示.
　　
∵∠ECF=30°,
∴α=∠BCE=∠BCH−∠ECF=45°−30°=15°.
　②当点E与点H重合时,点F落在AB上,此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF,如图
(2)所示.
　此时α=∠BCH=45°.
　③当点E在线段HA上时,此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF或△CEF的一部分,如图
(3)所示.
　　　　
∴45°＜α＜90°.
　综上所述,当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，α的取值范围是α=15°或45°≤α＜90°.

12.(2024·陕西中考)如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 BC 的中点,连结 AE,则图中的直角三角形共有(C).

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： 12.C　[解析]因为∠BAC=90°,所以△ABC是直角三角形.因为AD是BC边上の高,所以∠ADB=∠ADC=
　90°,所以△ABD,△AED,△ACD都是直角三角形,所以题图中的直角三角形共有4个.故选C.