《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

7. 如图,点 M 是线段 AB 上一点,ED 经过点 M,连结 AE,BD,过点 B 作 BF//AE 交 ED 于点 F,且 EM= FM.
(1)若 AE= 5,求 BF 的长；
(2)若∠AEC= 90°,∠DBF= ∠CAE,求证：CD= FE.
]

答案：
(1)解：
∵BF//AE，
∴∠AEM=∠BFM。在△AEM和△BFM中，∠AEM=∠BFM，EM=FM，∠AME=∠BMF，
∴△AEM≌△BFM(ASA)，
∴BF=AE=5。
(2)证明：由
(1)知△AEM≌△BFM，
∴AE=BF。
∵∠AEC=90°，
∴∠AED=90°，又BF//AE，
∴∠BFD=∠AED=90°，
∴∠BFC=∠AEC=90°。在△AEC和△BFC中，∠CAE=∠DBF，AE=BF，∠AEC=∠BFC，
∴△AEC≌△BFC(ASA)，
∴EC=FC。
∵ED=EC+CD，EF=FC+CD，
∴CD=FE。

8. 类比思想 如图(1),在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC= 90°,AB= AC,直线 MN 经过点 A,BD⊥MN 于点 D,CE⊥MN 于点 E.
(1)求证：△BAD≌△ACE；
(2)试判断线段 DE,BD,CE 之间的数量关系,并说明理由；
(3)当直线 MN 运动到如图(2)所示位置时,其余条件不变,判断线段 DE,BD,CE 之间的数量关系.
]

答案：
(1)证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADB=∠CEA=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△BAD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CEA\\ ∠ABD=∠CAE\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△ACE(AAS)；
(2)解：DE=BD+CE，理由如下：
∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；
(3)解：DE=CE-BD，理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADB=∠CEA=90°，∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CEA\\ ∠BAD=∠ACE\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△ACE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD．

9. 新情境 应用全等测量长度 (2025·山东烟台招远期中)小明同学沿一段笔直的人行道行走,在由 A 处步行到达 B 处的过程中,通过隔离带的空隙 O 刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下：如图,AB//OH//CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD 相交于点 O,OD⊥CD,垂足为 D,已知 AB= 15 米,请根据上述信息求标语 CD 的长度.
]

答案： 证明：
∵AB//CD，OD⊥CD，
∴OD⊥AB，即∠OAB=∠OCD=90°。
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OE（设OE为O到AB的距离）。
在△OAB和△OCD中，
∠OAB=∠OCD=90°，
∠AOB=∠COD（对顶角相等），
OD=OE=AB边上的高，
∴△OAB≌△OCD（AAS）。
∴CD=AB=15米。
答：标语CD的长度为15米。

10. (2024·牡丹江中考)如图,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,CF//AB,D,E,F 三点共线,请添加一个条件AD=CF,使得 AE= CE.(只添一种情况即可)

答案： 【解析】：本题可根据全等三角形的判定定理来添加条件，使得$\triangle ADE$和$\triangle CFE$全等，进而得到$AE = CE$。
已知$CF// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ADE=\angle CFE$，$\angle DAE=\angle FCE$。
此时在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，已经有两组角对应相等，根据全等三角形的判定定理“$AAS$”（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）或“$ASA$”（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可添加一组对应边相等，比如$AD = CF$或$\angle AED=\angle CEF$（对顶角相等，添加此条件可利用“$ASA$”判定全等）或$\angle DAE=\angle FCE$（已知平行已得，也可作为已知条件利用其他方式推导全等，这里主要考虑添加边或另一组角的情况），这里我们选择添加$AD = CF$来使得两个三角形全等。
当$AD = CF$时，在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中：
$\begin{cases}\angle ADE=\angle CFE\\\angle DAE=\angle FCE\\AD = CF\end{cases}$
根据“$AAS$”可判定$\triangle ADE\cong\triangle CFE$，全等三角形对应边相等，所以$AE = CE$。
【答案】：$AD = CF$（答案不唯一）。