《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

12. 如图,在△ABC中,AB= AC,BD平分∠ABC,AD⊥BD于点D.
(1)若∠C= 72°,求∠BAD的度数；
(2)点E为线段AB的中点,连结DE.求证：DE//BC.

答案：
(1)
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°.
∵AD⊥BD，
∴∠BAD=90°-36°=54°.
(2)在Rt△ADB中，点E为斜边AB的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB=EB，
∴∠EBD=∠EDB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠EDB=∠CBD，
∴DE//BC.
归纳总结 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.

13. 一题多问 一线三等角模型(1)如图(1),在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,直线m过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证：DE= BD+CE.
(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在△ABC中,AB= AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE= BD+CE是否成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用：如图(3)D,E, D,A,E三点所在直线m上两点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连结BD,CE,若∠BDA= ∠AEC= ∠BAC,试判断△DEF的形状.

答案：
(1)
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CAE,\\ ∠BDA=∠AEC,\\ AB=CA,\end{array}\right.$
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)成立.证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α
∴∠CAE=∠ABD.在△ADB 和△CEA中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CAE,\\ ∠BDA=∠AEC\\ AB=CA,\end{array}\right.$
∴△ADB≌△CEA(AAS) ,
∴AE=BD ,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠EAC．
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE +∠CAF,
∴∠DBF=∠EAF.在△DBF 和△EAF 中,$\left\{\begin{array}{l} FB=FA,\\ ∠DBF=∠EAF\\ BD=AE,\end{array}\right.$
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
解后反思本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质 ,熟练掌握全等三角形 的判定和性质定理是解题的关键.