《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

9. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB= AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD= AE,连结 BE,CD 交于点 F.
(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点 A,F 的直线垂直平分线段 BC.
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答案：
(1)∠ABE=∠ACD. 理由如下：
在△ABE 和△ACD 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠A=∠A,\\ AE=AD,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD.
(2)
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
由
(1)可知，∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC.
又 AB=AC，
∴点 A，F 均在线段 BC 的垂直平分线上，即过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.

10. 中考新考法 线段间数量关系探究 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB= 90°. 点 P 在线段 BC 上,延长 BC 至点 Q,使得 CQ= CP,连结 AP,AQ. 过点 B 作 BD⊥AQ 于点 D,交 AP 于点 E,交 AC 于点 F. K 是线段 AD 上的一个动点(与点 A,D 不重合),过点 K 作 GN⊥AP 于点 H,交 AB 于点 G,交 AC 于点 M,交 FD 的延长线于点 N.

(1)依题意补全图形;
(2)求证:NM= NF;
(3)若 AM= CP,用等式表示线段 AE,GN 与 BN 之间的数量关系,并证明.
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答案：

(1)补全图形，如图
(1).

(2)
∵CQ=CP，∠ACB=∠ACQ=90°，AC=AC，
∴△ACP≌△ACQ(SAS)，
∴AP=AQ，
∴∠APQ=∠Q.
∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°.
∴∠Q=∠BFC.
∵∠MFN=∠BFC，
∴∠MFN=∠Q.
同理，可得∠NMF=∠APQ.
∴∠MFN=∠NMF，
∴NM=NF.
(3)BN=AE+GN，证明如下：
连结 CE，如图
(2).

由
(2)，得∠NMF=∠BFC.
又∠NMF=∠AMG，
∴∠AMG=∠BFC.
∴90°-∠AMG=90°-∠BFC，即∠PAC=∠FBC.
又∠ACB=90°，AC=BC，
∴△APC≌△BFC(ASA)，
∴CP=CF.
∵AM=CP，
∴AM=CF.
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE.
又 AC=BC，
∴CE 所在直线是 AB 的垂直平分线.
∴∠ECB=∠ECA=45°.
∴∠GAM=∠ECF=45°.
由
(2)，可得∠AMG=∠CFE，
∴△AGM≌△CEF(ASA)，
∴GM=EF.
∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，
∴BN=AE+GN.

11. (2023·锦州中考)如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,连结 CE. 若 CE= CA,∠ACE= 40°,则∠B 的度数为35°.

答案： 35° [解析]
∵CE=CA，∠ACE=40°，
∴∠A=∠AEC=$\frac{180°-∠ACE}{2}$=70°.
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE.
又∠AEC=∠B+∠BCE，
∴∠B=35°.