《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

12.(2024.甘肃兰州城关区期中)写出下列各题中y关
于x的函数关系式,并判断y是否为x的一次函数,是否为正比例函数.
(1)长方形的面积为3,长方形的长y与宽x之间的关系;
(2)刚上市时西瓜每千克3.6元,买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系;
(3)仓库内有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系;
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入10000元,以后每个月存入500元,存入总数y元与月数x之间的关系.
二延伸探究提优挑战自我,激发创新

答案：
(1)由题意,得$y=\frac{3}{x}$,$y$不是$x$的一次函数,也不是正比例函数.
(2)$y=3.6x$,$y$是$x$的一次函数,也是正比例函数.
(3)$y=400-36x$,$y$是$x$的一次函数,不是正比例函数.
(4)$y=10000 +500x$,$y$是$x$的一次函数,不是正比例函数.

13.新情境数学与生活融合周末,父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走,两人分别从跑道两端开始往返练习.在同一平面直角坐标系中,父子二人离同一端的距离s(米)与时间t(秒)的关系图象如图所示.若不计转向时间,按照这一速度练习20分钟,迎面相遇的次数为(B).
A.12
B.16
C.20
D.24

答案： 【解析】：本题可先根据图象求出父子二人的速度，再分析两人相遇时所走的路程和与跑道长度的关系，进而求出$20$分钟内迎面相遇的次数。
父子二人离同一端的距离$s$（米）与时间$t$（秒）的关系图象可知，父亲走完一个全程$200$米用时$40$秒，儿子走完一个全程$200$米用时$60$秒。
根据速度公式$v = \frac{s}{t}$（其中$v$表示速度，$s$表示路程，$t$表示时间），可得父亲的速度$v_{父}=\frac{200}{40} = 5$（米/秒），儿子的速度$v_{子}=\frac{200}{60}=\frac{10}{3}$（米/秒）。
两人第一次相遇时，所走的路程和为$200$米。
从第一次相遇后开始分析，两人每相遇一次，所走的路程和就是$2×200 = 400$（米）。
设两人迎面相遇$n$次（$n$为正整数），除去第一次相遇，后面$(n - 1)$次相遇两人所走的路程和为$(n - 1)×400$米，再加上第一次相遇的$200$米，则两人总共走的路程和$S = 200 + (n - 1)×400$米。
两人$t$秒所走的路程和为$(v_{父} + v_{子})t=(5 + \frac{10}{3})t=\frac{25}{3}t$米。
已知练习时间为$20$分钟，因为$1$分钟$ = 60$秒，所以$20$分钟$ = 20×60 = 1200$秒，即$t = 1200$秒，那么两人$20$分钟所走的路程和为$\frac{25}{3}×1200 = 10000$米。
则可列出不等式$200 + (n - 1)×400\leqslant10000$，
解这个不等式：
$\begin{aligned}200 + 400n - 400&\leqslant10000\\400n - 200&\leqslant10000\\400n&\leqslant10000 + 200\\400n&\leqslant10200\\n&\leqslant\frac{10200}{400}\\n&\leqslant25.5\end{aligned}$
由于$n$为相遇次数，应为正整数，且第一次相遇后，每多走$400$米相遇一次，$10000 - 200 = 9800$，$9800÷400 = 24.5$，所以$n - 1 = 24$，$n = 1 + 24 = 16\frac{2}{3}$ ，相遇次数取整数，所以$20$分钟内迎面相遇$16$次（第一次相遇后，后面每次相遇路程和是$400$米，$20$分钟内除去第一次相遇的路程，后面还能相遇$24$次，加上第一次共$16$次）。
【答案】：B。

14.(2025.宁波鄞州区期末)某商场准备购进A,B两种
商品进行销售,A商品的进价为每件30元,售
价为每件40元,B商品的进价为每件40元,售
价为每件60元,现计划购进A,B两种商品共
100件,设购进A商品x件,总利润为y元.
(1)写出y(元)关于x(件)的函数关系式;
(2)若A商品不少于60件,总利润不低于
1380元,求出所有的进货方案.

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数的建立以及一元一次不等式组的解法。
(1)首先，需要根据题目描述建立总利润y关于A商品数量x的函数关系式。
A商品每件的利润是$40-30=10$元，B商品每件的利润是$60-40=20$元。
如果购进A商品x件，那么B商品就是$100-x$件。
因此，总利润y可以表示为：
$y = 10x + 20(100 - x)$，
化简后得到：
$y = -10x + 2000$，
其中，$0 \leq x \leq 100$，且x为整数，因为不能购进非整数数量的商品。
(2)接下来，需要根据题目条件建立不等式组，并求解。
题目给出A商品不少于60件，即$x \geq 60$；
总利润不低于1380元，即$-10x + 2000 \geq 1380$。
将这两个不等式组合起来，得到：
$60 \leq x \leq 62$，
由于x必须为整数，因此x的取值只能是60，61，62。
对应的B商品数量分别是$100-x=40$，39，38。
因此，有三种进货方案：
方案一：购进A商品60件，B商品40件；
方案二：购进A商品61件，B商品39件；
方案三：购进A商品62件，B商品38件。
【答案】：
(1)$y = -10x + 2000$，其中$0 \leq x \leq 100$，且x为整数；
(2)方案一：购进A商品60件，B商品40件；方案二：购进A商品61件，B商品39件；方案三：购进A商品62件，B商品38件。