《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

(1)如图(1),点 P 关于射线 OM 的对称点是 G,点 P 关于射线 ON 的对称点是点 H,连结 OG,OH,OP.
①若∠MON= 50°,则∠GOH= 100°；
②若 PO= 5,连结 GH,请说明当∠MON 为多少度时,GH= 10；
当∠MON=90°时,GH=10
(2)如图(2),若∠MON= 60°,A,B 分别是射线 OM,ON 上的任意一点,当△PAB 的周长最小时,求∠APB 的度数.
60°

答案：
(1)①100° ②当∠MON=90°时,GH=10；
(2)60°

3.(2025·广东湛江期末)综合与探究
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动,折纸,常能为证明一个命题提供思路和方法.
[感悟](1)如图(1),AD 是△ABC 的高,∠C= 2∠B,若 CD= 2,AC= 5,求 BC 的长.笑笑同学的解法是：将△ABC 沿 AD 折叠,点 C 刚好落在边 BC 上的点 E 处,则 BC= 9.
[探究](2)如图(2),∠ACB= 2∠B,AD 为△ABC 的外角∠CAF 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,则线段 AB,AC,CD 有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明.
[拓展](3)如图(3),在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,AD= 8,DC= BC= 10.
①求证：∠B+∠D= 180°；
②若∠D= 2∠B,则 AB 的长为18.

答案：
(1)9
(2)AB+AC=CD
(3)②18

变式 3.1 (2025·广西南宁期末)[问题背景]折纸和数学联系紧密,一张纸片通过折叠等操作,就能得到许多图形.
在综合与实践课上,同学们以“等边三角形纸片 的折叠”为主题开展探究.
[实验操作]已知等边三角形 ABC 纸片中,点 D,E 分别是边 AB,AC 上的点,连结 DE,将△ADE沿 DE 折叠得到△A'DE,连结 A'B与 A'C.
[初步探究]当折痕 DE 平行 BC 时,完成下面探索任务：
(1)如图(1),当点 A'恰好落在 BC 边上时,求证：△A'BD 是等边三角形；
(2)如图(2),当点 A'落在△ABC 内部时,求证：△A'BD≌△A'CE；
(3)当△A'BD 是直角三角形时,若 AB= 6,求 BD 的长.
[深入探究]当折痕 DE 与 BC 不平行时,完成下面探索任务：
(4)当△A'BD 是等腰直角三角形时,请直接写出∠ADE 的度数.

答案：
(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)BD=4或2
(4)45°或67.5°