《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

18. 中考新考法 探究不同条件下的结论变化 问题:如图,在$\triangle ABD$中,$BA= BD$,在 BD 的延长线上取点 E,C,作$\triangle AEC$,使$EA= EC$.若$\angle BAE= 90^\circ$,$\angle B= 45^\circ$,求$\angle DAC$的度数.
答案:$\angle DAC= 45^\circ$.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“$\angle B= 45^\circ$”去掉,其余条件不变,那么$\angle DAC$的度数会改变吗?说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“$\angle B= 45^\circ$”去掉,再将“$\angle BAE= 90^\circ$”改为“$\angle BAE= n^\circ$”,其余条件不变,求$\angle DAC$的度数.

答案：
(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下:
∵EA=EC,
∴∠C=∠CAE.
∵∠AED=∠C+∠CAE,
∴∠AED=2∠C.
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠BAE=90°,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$(180°−∠B)=$\frac{1}{2}$[180°−(90°−∠AED)]=$\frac{1}{2}$[180°−(90°−2∠C)]=45°+∠C,
∴∠DAE=90°−∠BAD=90°−(45°+∠C)=45°−∠C,
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°.　
(2)设∠ABC=m°,则∠BAD=$\frac{1}{2}$(180°−m°)=90°−$\frac{1}{2}$m°,∠AEB=180°−n°−m°,
∴∠DAE=n°−∠BAD=n°−90°+$\frac{1}{2}$m°.
∵EA=EC,
∴∠C=∠EAC.
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠AEB=90°−$\frac{1}{2}$n°−$\frac{1}{2}$m°.
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°−90°+$\frac{1}{2}$m°+90°−$\frac{1}{2}$n°−$\frac{1}{2}$m°=$\frac{1}{2}$n°.

19.(温州平阳中学自主招生)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点 P,Q 分别在 AC,AB 上,且$AP= PQ= QC= BC$,则$\angle A$的大小是______$(\frac{180}{7})^{\circ}$.

答案： $(\frac{180}{7})^{\circ}$　[解析]
∵AB=AC,AP=PQ=QC=BC,
∴∠ABC=∠ACB,∠A=∠AQP,∠QPC=∠QCP,∠BQC=∠B.　　设∠A=x°,则∠AQP=x°,
∵在△AQP中,∠QPC是外角，
∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°.
∵在△ACQ中,∠BQC是外角，
∴∠BQC=∠ACQ+∠A=∠QPC+∠A,
∴∠BQC=3x°,
∴∠B=3x°,
∴∠ACB=3x°.
∵在△ABC中,∠A+∠ACB+∠B=180°,
∴x°+3x°+3x°=180°,　　解得x=$\frac{180}{7}$,
∴∠A=$(\frac{180}{7})^{\circ}$.

20. 分类讨论思想 (宁波余姚中学自主招生)已知在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,且过$\triangle ABC某一顶点的直线可将\triangle ABC$分成两个等腰三角形,则各内角的度数为______.

答案：
45°,45°,90°或36°,36°,108°或36°,72°,72°或$(\frac{180}{7})^{\circ}$, $(\frac{540}{7})^{\circ}$, $(\frac{540}{7})^{\circ}$　[解析]　　①如图
(1),
∵AB=AC,BD=CD=AD,
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴4∠B=180°,
∴∠B=45°,∠C=45°,∠BAC=90°.　　 　　②如图
(2),
∵AB=AC=CD,AD=BD,
∴∠B=∠C=∠BAD,∠CAD=∠CDA.
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠CDA=3∠B.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°,∠C=36°,∠BAC=108°.　　③如图
(3),
∵AB=AC,AD=BD=BC,
∴∠ABC=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC=∠C.
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,
∴∠C=2∠A,
∴∠ABC=∠C=2∠A.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴5∠A=180°,
∴∠A=36°,∠C=72°,∠ABC=72°.　　④如图
(4),
∵AB=AC,AD=BD,CD=BC,
∴∠ABC=∠C,∠A=∠ABD,∠CDB=∠CBD.
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,
∴∠CBD=2∠A,
∴∠ABC=∠C=∠ABD+∠CBD=3∠A.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴7∠A=180°,
∴∠A=$(\frac{180}{7})^{\circ}$,　　∠C=$(\frac{540}{7})^{\circ}$,　　∠ABC=$(\frac{540}{7})^{\circ}$.

21. 中考新考法 动点问题 如图(1),在等边三角形 ABC 中,点 D 是 AB 边上的动点,以 CD 为一边,向上作等边三角形 EDC,连结 AE.
(1)$\triangle DBC和\triangle EAC$会全等吗?请说说你的理由.
(2)试说明$AE// BC$的理由.
(3)如图(2),当(1)中动点 D 运动到边 BA 的延长线上,所作仍为等边三角形,请问是否仍有$AE// BC$?证明你的猜想.

答案：
(1)△DBC和△EAC会全等.理由如下:
∵∠ACB=60°,∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°−∠ACD,∠ACE=60°−∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE.　在△DBC和△EAC中,BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△DBC≌△EAC(SAS).　
(2)
∵△DBC≌△EAC,
∴∠EAC=∠B=60°.　又∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE//BC.　
(3)结论:AE//BC.证明如下:
∵△ABC,△EDC为等边三角形,
∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,　　即∠BCD=∠ACE.　　在△DBC和△EAC中,BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△DBC≌△EAC(SAS),
∴∠EAC=∠B=60°.　　又∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE//BC.

22.(2024·绥化中考)如图,$AB// CD$,$\angle C= 33^\circ$,$OC= OE$,则$\angle A= $66°.

答案： 66　[解析]
∵OC=OE,∠C=33°,
∴∠E=∠C=33°,
∴∠DOE=∠E+∠C=66°.
∵AB//CD,
∴∠A=∠DOE=66°.