《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

9.(2025·嘉兴期末)如图,已知 BE 平分∠ABC,点 D 为 BE 上一点,连结 AD,CD.
(1)请从①AB= BC,②∠A= ∠C 中任选一个作为条件,使得结论“△ABD≌△CBD”成立,并证明；
(2)在(1)的条件下,若∠ABC= 40°,∠A= 30°,求∠ADC 的度数.

答案：
(1)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.选择①AB=BC,在△ABD和△CBD中,AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SAS);选择②∠A=∠C,在△ABD和△CBD中,∠A=∠C,∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(AAS).
(2)
∵∠ABC=40°,
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°.
∵∠A=30°,
∴∠ADE=∠A+∠ABE=50°.
∵△ABD≌△CBD,
∴∠ADB=∠CDB,
∴∠ADE=∠CDE=50°,
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=100°.

10. 中考新考法 满足结论的条件开放 (2025·江苏常州新北区期中)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 8 cm,BC= 14 cm,点 P 从点 A 出发沿 A→C→B 路径向终点运动,终点为点 B,点 Q 从点 B 出发沿 B→C→A 路径向终点运动,终点为点 A,点 P 和 Q 分别以 2 cm/s 和 3 cm/s 的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过点 P 和点 Q 作 PE⊥l 于点 E,QF⊥l 于点 F. 设运动时间为 t 秒,要使以点 P,E,C 为顶点的三角形与以点 Q,F,C 为顶点的三角形全等,则 t 的值为$\frac{22}{5}$或6或8.

答案： $\frac{22}{5}$或6或8

11. 中考新考法 类比猜想 如图,CD 是经过∠BCA 顶点 C 的一条直线,CA= CB,E,F 分别是直线 CD 上两点,且∠BEC= ∠CFA= α.
(1)若直线 CD 经过∠BCA 的内部,且 E,F 在射线 CD 上.
①如图(1),若∠BCA= 90°,α= 90°,则 BE 与 CF 的数量关系是：BE=CF；
②如图(2),若 0°＜∠BCA＜180°,请添加一个关于 α 与∠BCA 关系的条件α+∠BCA=180°,使①中的结论仍然成立,并说明理由；
(2)如图(3),若直线 CD 经过∠BCA 的外部,∠BCA= α,请提出关于 EF,BE,AF 三条线段数量关系的合理猜想,并简述理由.EF=BE+AF.

答案：
(1)①=；②α+∠BCA=180°；
(2)EF=BE+AF.