《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1.(2024·宁波联合实验中学期中)如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 8,BC= 6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE= 6,若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为( ).

A.2
B.2.5
C.3
D.3.5

答案：
A　[解析]如图,连结CM,CN.
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=√(AC²+BC²)=10.
∵DE=6,点M,N分别是DE,AB的中点，
∴CN=1/2AB=5,CM=1/2DE=3,当C,M,N在同一直线上时,MN取最小值，　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN的最小值为CN - CM=5 - 3=2.故选A

2. 等积法 (2025·湖南长沙岳麓区期末改编)如图,在Rt△ABC中,AD是斜边上的高,如果AB= 1,AC= √3,那么AD= √3/2.

答案： √3/2　[解析]在Rt△ABC中,根据勾股定理,得BC=√(AB²+AC²)=√((√3)²+1²)=2.
∵1/2AB·AC=1/2BC·AD,
∴AD=(AB·AC)/BC=(√3×1)/2=√3/2.

3. 传统文化 赵爽弦图 如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边BC= 5,将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到如图(2)所示的“数学风车”,若△BCD的周长是30,则这个风车的外围周长是______76.

答案： 76　[解析]设BD=x,AC=y,则AD=AC=y,CD=2y,∠ACB=90°.在Rt△BCD中,由勾股定理,得x²=(2y)²+5².
∵△BCD的周长是30,
∴x+2y+5=30,
∴{x²=4y²+25,解得{x=13, x+2y=25, y=6,
∴“数学风车”的周长是(13+6)×4=76.

4.(湖州德清自主招生)如图,从Rt△ABG(∠AGB= 90°)三边出发,向△ABG外作三个正方形,已知正方形ABCD面积为81,正方形AEFG面积为49,则正方形GHIB面积为______.

32

答案： 32

5.(杭州西湖区自主招生)如图,我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形,若小正方形的面积为1,大正方形的面积为13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比a/b的值是______2/3.

答案： 2/3　[解析]
∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴c²=13,
∴a²+b²=c²=13.→运用勾股定理
∵直角三角形的面积是(13 - 1)/4=3,
∴1/2ab=3,
∴ab=6,
∴(a+b)²=a²+b²+2ab=c²+2ab=13+2×6=13+12=25,
∴a+b=5.
∵小正方形的面积为(b - a)²=1,
∴b - a=1,
∴b=3,a=2,
∴a/b=2/3.

6. 分类讨论思想 在△ABC中,已知AB= 10,AC= 17,边BC上的高AD= 8,求BC的长.

答案： 【解析】：
本题主要考查了勾股定理的应用及分类讨论的思想。
在$\triangle ABC$中，已知$AB = 10$，$AC = 17$，以及边$BC$上的高$AD = 8$。
由于$AD$是$BC$上的高，因此$\angle ADB$和$\angle ADC$都是直角。
这允许我们在两个直角三角形$\triangle ADB$和$\triangle ADC$中分别应用勾股定理。
我们需要分两种情况讨论：
当高$AD$在$\triangle ABC$内部时，
在$\triangle ADB$中，由勾股定理，我们有$BD^{2} = AB^{2} - AD^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 36$，
所以$BD = 6$（负值舍去，因为长度不能为负）。
在$\triangle ADC$中，同样由勾股定理，我们有$DC^{2} = AC^{2} - AD^{2} = 17^{2} - 8^{2} = 225$，
所以$DC = 15$（负值舍去）。
因此，$BC = BD + DC = 6 + 15 = 21$。
当高$AD$在$\triangle ABC$外部时，
此时，$DC$是$BD$的延长线上的一段，
在$\triangle ADB$中，由勾股定理，我们有$BD^{2} = AB^{2} - AD^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 36$，
所以$BD = 6$（负值舍去）。
在$\triangle ADC$中，由勾股定理，我们有$DC^{2} = AC^{2} - AD^{2} = 17^{2} - 8^{2} = 225$，
所以$DC = 15$（负值舍去），
因此，$BC = DC - BD = 15 - 6 = 9$。
【答案】：
$BC$的长为$21$或$9$。

7. 若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高是h,给出下列结论:
①以$a^2,b^2,c^2$的长为边的三条线段能组成一个三角形;
②以√a,√b,√c的长为边的三条线段能组成一个三角形;
③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形;
④以1/a,1/b,1/c的长为边的三条线段能组成直角三角形.
其中所有正确结论的序号为②③.

答案： ②③

8. 如图,在△ABC中,D是边BC上的点,AB= 13,AD= 12,BD= 5,AC= 15.
(1)求证:△ABD是直角三角形;
(2)求DC的长.

答案：
(1)
∵AB=13,AD=12,BD=5,
∴AB²=AD²+BD²,
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.
(2)
∵∠ADB=90°,
∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC=√(AC² - AD²)=√(15² - 12²)=9.