《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

8.(2025·吉林五中期末改编)如图,点 P 是△ABC 内部一点,且 AC= BC,AP= BP,连结 CP.
(1)求证：∠ACP= ∠BCP；
(2)若 AB= 3CP= 3,直接写出△APC 的面积.
]

答案：

(1)在△ACP和△BCP中,$\begin{cases} AC=BC, \\ AP=BP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△ACP≌△BCP(SSS),
∴∠ACP=∠BCP.
(2)如图所示，延长CP交AB于点D.
∵△ACP≌△BCP,
∴∠ACP=∠BCP.
∵AC=BC,
∴CD⊥AB,AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$.
∵AB=3CP=3,即CP=1,
∴S$_{\triangle ACP}$=$\frac{1}{2}$CP·AD=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$.归纳总结 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一定理，三角形面积，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键.

9.(2025·江苏连云港期末)如图,在△ABC 中,AB 边的垂直平分线 EF 分别交 BC,AB 边于点 E,F,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,且 D 为线段 CE 的中点.
(1)求证：BE= AC；
(2)若∠B= 35°,求∠BAC 的度数.
]

答案：

(1)如图，连结AE,
∵AD⊥BC于点D,且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE.
∴AC=AE.
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴BE=AC.
(2)
∵AE=BE,∠B=35°,
∴∠BAE=∠B=35°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°-∠B=55°,
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=20°.
∵AC=AE,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠EAD=20°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=55°+20°=75°.

10. 如图,在△ABC 中,AB= AC,AD 是 BC 边上的中线,DE//AC 交 AB 于点 E. 求证：AE= BE.
]

答案：
∵DE//AC,
∴∠C=∠EDB,
∴∠CAD=∠ADE.在△ABC中,AB=AC,
∴∠C=∠B.
∵AD是BC边上的中线，
∴AD是∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB,
∴∠ADE=∠DAB=∠CAD,
∴AE=DE.
∵∠C=∠EDB=∠B,
∴DE=BE,
∴AE=BE=DE,即AE=BE.

11. 如图,已知：∠C+∠D= 180°,∠1= ∠2,∠3= ∠4. 求证：AD+BC= AB.
]

答案：
如图，延长BE交AD的延长线于点M.
∵∠C+∠EDA=180°,
∴BC//AD,
∴∠M=∠4,∠3+∠4+∠1+∠2=180°.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠M=∠3,∠2+∠3=90°,
∴AB=AM,AE⊥BM,
∴BE=EM.（△ABM是等腰三角形，“三线合一”）
∵∠4=∠M,∠CEB=∠DEM,BE=ME,
∴△BCE≌△MDE(ASA),
∴BC=DM,
∴AD+BC=AD+DM=AM=AB,
∴AD+BC=AB.

12. 如图,AB,CD 相交于点 E 且互相平分,F 是 BD 延长线上一点,若∠FAC= 2∠BAC.
(1)求证：AC+DF= AF.
(2)连结 EF,EF 与 AB 的位置关系是什么？请说明理由.
]

答案：

(1)
∵AB,CD互相平分,
∴AE=BE,CE=DE.
∵∠AEC=∠BED,
∴△AEC≌△BED(SAS),
∴∠CAE=∠DBE,AC=BD.
∵∠FAC=2∠BAC,
∴∠CAE=∠FAE,
∴∠DBE=∠FAE,
∴AF=BF.
∵BD+DF=BF,
∴AC+DF=AF.
(2)EF与AB互相垂直.理由如下:
∵AF=BF,AE=BE,
∴EF⊥AB.归纳总结 本题考查等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判断和性质，灵活运用等腰三角形的“三线合一”性质和全等三角形的判断是解题的关键.