《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1.(2024·杭州萧山区期中)如图,已知AB= AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是(D).

A.CB= CD
B.∠BAC= ∠DAC
C.∠B= ∠D= 90°
D.∠BCA= ∠DCA
]

答案： 1.D ［解析］A.添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B.添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C.添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D.添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意.故选D.

2. 两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等,能使这两个直角三角形全等的是(A).
A.①②
B.②③
C.③④
D.①②③④

答案： 2.A ［解析］①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，故①符合题意；
②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，故②符合题意；
③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，故③不符合题意；
④有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，故④不符合题意.
综上分析，可知①②正确，故A符合题意.故选A.

3. 在Rt△ABC中,∠A= 90°,BC= 10,AB= 6,点P在AB上且点P到另两边的距离相等,则AP的长为______.

答案：
3.$\frac{8}{3}$ ［解析］如图，过点P作PD⊥BC于点D，连结PC.
∵∠A=90°，BC=10,AB=6，
∴AC=$\sqrt{BC^2-AB^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8.
∵点P在AB上且点P到另两边的距离相等，
∴PA=PD.
设AP=x，则BP=6-x，
在Rt△APC与Rt△DPC中，$\left\{\begin{array}{l}PC=PC,\\ PA=PD,\end{array}\right.$

∴Rt△APC≌Rt△DPC(HL)，
∴CD=AC=8，
∴BD=BC-CD=10-8=2.
在Rt△BPD中，BP²=PD²+BD²，
即(6-x)²=x²+2²，解得x=$\frac{8}{3}$，
∴AP=$\frac{8}{3}$.

4. 如图,在四边形ABCD中,AD= BC,BE= DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F. 求证：△ADE≌△CBF.
]

答案： 4.
∵BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，即BF=DE.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°.
在Rt△ADE与Rt△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}AD=CB,\\ DE=BF,\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL).
知识拓展 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

5. 中考新考法 尺规作图 (2024·金华东阳期末)在以下图形中,根据尺规作图痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是( ).


A.图(1)和图(2)
B.图(1)和图(3)
C.图(3)
D.图(2)和图(3)

答案：
5.A ［解析］在题图
(1)中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC.
在题图
(2)中，如图，根据作法可知AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，$\left\{\begin{array}{l}AF=AE,\\ ∠MAF=∠NAE,\\ AM=AN,\end{array}\right.$

∴△AMF≌△ANE(SAS)，
∴∠AMD=∠AND.
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF.在△MDE和△NDF中，$\left\{\begin{array}{l}∠MDE=∠NDF,\\ ∠AMD=∠AND,\\ ME=NF,\end{array}\right.$
∴△MDE≌△NDF(AAS)，
∴S△MDE=S△NDF，
全等的两个三角形面积相等
∴点D到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC.
在题图
(3)中，利用基本作图得到点D为BC的中点，则AD为BC边上的中线，不是角平分线.故选A.

6. 如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中选择一组,可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③(填入序号).
①AB= DC,∠B= ∠C；
②AB= DC,AB//CD；
③AB= DC,BE= CF；
④AB= DF,BE= CF.
]

答案： 6.①②③ ［解析］
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠DFC=90°.选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择②可得∠A=∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择④不能利用定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF.

7. 如图,DP所在直线是BC的垂直平分线,垂足是P,DP与∠BAC的平分线相交于点D,若∠BAC= 86°,则∠BDC= ______度.
]

答案：
7.94 ［解析］如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF.
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}DB=DC,\\ DE=DF,\end{array}\right.$

∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF.
∵∠DEB=∠DFA=90°，
∴∠BAC+∠EDF=360°-(∠DEB+∠DFA)=180°.
∵∠BAC=86°，
∴∠EDF=180°-∠BAC=94° ，
∴∠BDC=∠EDF=94°.
归纳总结 本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．本题难度适中，注意掌握辅助线的作法与转化思想的应用．

8. 如图,在△ABC中,AB= AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,连结AO,则图中有4对全等的直角三角形.

答案： 8.4 ［解析］
∵高BD，CE交于点O ，
∴∠AEO=∠ADO=90°.①在△AEC与△ADB中，$\left\{\begin{array}{l}∠AEC=∠ADB,\\ ∠EAC=∠DAB,\\ AC=AB,\end{array}\right.$
∴△AEC≌△ADB(AAS) ，
∴∠ABO=∠ACO.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB ，
∴∠CBO=∠BCO ，
∴OB=OC．②易证△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO.在△AEO与△ADO中，$\left\{\begin{array}{l}∠AEO=∠ADO,\\ ∠EAO=∠DAO,\\ AO=AO,\end{array}\right.$
∴△AEO≌△ADO(AAS).③在△BOE与△COD中，$\left\{\begin{array}{l}∠BEO=∠CDO ,\\ ∠BOE=∠COD,\\ BO=CO,\end{array}\right.$
∴△BOE≌△COD(AAS).④在△BCE与△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}∠CEB=∠BDC,\\ ∠BCO=∠CBO,\\ BC=CB,\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CBD(AAS).综上，共有4对．

9. 如图,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,若BD= CD,BE= CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)猜想AE,BE与AC之间的数量关系,并说明理由.
]

答案： 9.
(1)
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°.在Rt△BED和Rt△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}BD=CD,\\ BE=CF,\end{array}\right.$
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF.又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)猜想AE，BE与AC之间的数量关系为AC=AE+BE.理由如下：在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}AD=AD,\\ DE=DF,\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∴AC=AF+CF=AE+BE.