《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

10.(2024·宁波镇海区期中)如图,D为△ABC外角∠ACP平分线上一点,且DA= DB,DM⊥BP于点M.
(1)若AC= 6,DM= 2,求△ACD的面积；
(2)求证：AC= BM+CM.
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答案：
10.
(1)如图，过点D作DN⊥AC于点N.
∵CD平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA，
∴DM=DN=2，
∴S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DN=$\frac{1}{2}$×6×2=6.

(2)
∵CD=CD,D=DN
∴Rt△CDM≌Rt△CDN(HL)，
∴CN=CM.
∵AD=BD，DN=DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM(HL)，
∴AN=BM，
∴AC=AN+CN=BM+CM.

11. 如图,在△ABC中,AB= AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若点B,C在DE的同侧(如图(1)所示)且AD= CE. 求证：AB⊥AC.
(2)若点B,C在DE的两侧(如图(2)所示),且AD= CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗？若是,请给出证明；若不是,请说明理由.
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答案： 11.
(1)
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}AB=CA,\\ AD=CE,\end{array}\right.$
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
∴∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠BAC=180°-(∠DAB+∠EAC)=90°，
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.证明如下：
同
(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=90°，
∴∠EAC+∠DAB=90°，
即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC.

12.(2023·南通中考)如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC= ∠AEB= 90°,BE,CD相交于点O,OB= OC. 求证：∠1= ∠2.
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC= ∠AEB= 90°,
∴∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90°.
∵∠DOB= ∠EOC,
∴∠B= ∠C.……第一步
又OA= OA,OB= OC,
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1= ∠2.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第二步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.
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∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDO=∠CEO=90°.
在△DOB和△EOC中，$\left\{\begin{array}{l}∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
∴△DOB≌△EOC(AAS)，
∴OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中，$\left\{\begin{array}{l}OD=OE,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1=∠2.

答案： 12.
(1)二
(2)
∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDO=∠CEO=90°.
在△DOB和△EOC中，$\left\{\begin{array}{l}∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
∴△DOB≌△EOC(AAS)，
∴OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中，$\left\{\begin{array}{l}OD=OE,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1=∠2.
一题多解 同证△DOB≌△EOC，则OD=OE.
又∠ADC=∠AEB=90°，
∴AO平分∠BAC，即∠1=∠2.