《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1. 手拉手模型 在△ABC 中,AB= AC,点 D 是射线 CB 上的一动点(不与点 B,C 重合),以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE,使 AD= AE,∠DAE= ∠BAC,连结 CE.
(1)如图(1),当点 D 在线段 CB 上,且∠BAC = 90°时,那么∠DCE= ______度;
(2)设∠BAC= α,∠DCE= β.
①如图(2),当点 D 在线段 CB 上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图(3),当点 D 在线段 CB 的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图(3)补充完整,写出此时α与β之间的数量关系并证明.

精题详解

答案：

(1)90 [解析]
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
(2)①α+β=180°.证明如下:
∵∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=180°−α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β,
∴α+β=180°.
②补全图形如图所示.
α=β.证明如下:
∵∠BAD+∠BAE=α,
∠BAE+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
{AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE}
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠AEC=∠ADB.
∵∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°,∠CED=∠AEC+∠AED,
∴α=β.

2 类比思想 (2025·四川广元利州区期末)如图(1),AB= 7 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A,B,AC= 5 cm. 点 P 在线段 AB 上以 2 cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时点 Q 在射线 BD 上运动.它们运动的时间为 t(s)(当点 P 运动结束时,点 Q 运动随之结束).
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t= 1 时,△ACP 与△BPQ 是否全等,并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,请分别说明理由.
(2)如图(2),若将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB= ∠DBA”,点 Q 的运动速度为 x cm/s,其他条件不变,当点 P,Q 运动到何处时有△ACP 与△BPQ 全等? 求出相应的 x 的值.

答案：
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
当t=1时,AP=BQ=2cm,
∴BP=AB−AP=7−2=5(cm),
∴BP=AC.
在△ACP和△BPQ中,{AP=BQ,∠A=∠B,AC=BP}
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠C=∠BPQ.
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠APC+∠BPQ=90°,
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,可得5=7−2t,2t=xt,
解得x=2,t=1;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,可得5=xt,2t=7−2t,
解得x=$\frac{20}{7}$,t=$\frac{7}{4}$.
综上所述,当△ACP与△BPQ全等时,x的值为2或$\frac{20}{7}$.