《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

变式3.1 (2025·辽宁阜新太平区期末)在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD交于点F.
(1)[问题呈现]
如图(1),若∠A= 100°,求∠BFD的度数;
(2)[问题推广]
如图(2),将△ABC沿MN折叠,使得点A与点F重合,若∠1+∠2= 160°,求∠BFC的度数;
(3)[问题拓展]
若P,Q分别是线段AB,AC上的点,设∠AQP= α,∠ACB= β.射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H(不与点P重合),直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系(用含α,β的式子表示).
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答案：

(1)在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A.
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD交于点F，
∴∠ABC = 2∠FBC，∠ACB = 2∠FCB，
∴2∠FBC + 2∠FCB = ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∠FBC + ∠FCB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A.
∵∠BFD是△FBC的一个外角，
∴∠BFD = ∠FBC + ∠FCB = 90° - $\frac{1}{2}$∠A.
∵∠A = 100°，
∴∠BFD = 90° - $\frac{1}{2}$×100° = 40°.
(2)
∵∠AMF = 180° - ∠1，∠ANF = 180° - ∠2，∠1 + ∠2 = 160°，
∴∠AMF + ∠ANF = 360° - (∠1 + ∠2) = 200°.
由折叠性质，得∠AMF = 2∠AMN，∠ANF = 2∠ANM，
∴2∠AMN + 2∠ANM = ∠AMF + ∠ANF = 200°，
∴∠AMN + ∠ANM = 100°，
∴∠A = 180° - (∠AMN + ∠ANM) = 80°.
由
(1)，得∠BFD = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BFD = 90° - $\frac{1}{2}$×80° = 50°，
∴∠BFC = 180° - ∠BFD = 130°.
(3)
∵P，Q分别是线段AB，AC上的点，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H，
容易忽略点H的不同位置，即在线段PK上和KP延长线上
∴有以下两种情况：
①当射线CF与∠APQ的平分线相交于点H时，设射线PH交AC于点K，如图
(1)所示：

由
(1)，得∠BFH = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BFC = 180° - ∠BFH = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.
∵CF平分∠ACB，PH平分∠APQ，∠ACB = β，
∴∠ACH = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$β，∠APK = $\frac{1}{2}$∠APQ.
∵∠APQ = 180° - ∠A - ∠AQP = 180° - ∠A - α，
∴∠APK = $\frac{1}{2}$∠APQ = 90° - $\frac{1}{2}$∠A - $\frac{1}{2}$α.
∵∠1 = ∠APK + ∠A，
∴∠1 = 90° - $\frac{1}{2}$∠A - $\frac{1}{2}$α + ∠A = 90° + $\frac{1}{2}$∠A - $\frac{1}{2}$α，
即∠1 = ∠BFC - $\frac{1}{2}$α.
∵∠PHC = ∠1 + ∠ACH，
∴∠PHC = ∠BFC - $\frac{1}{2}$α + $\frac{1}{2}$β，
∴∠PHC - ∠BFC = $\frac{1}{2}$β - $\frac{1}{2}$α；
②当射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H时，设射线PH交AC于点K，如图
(2)所示：

同理∠1 = ∠BFC - $\frac{1}{2}$α，
在△KHC中，∠PHC = 180° - ∠1 - ∠ACH = 180° - (∠BFC - $\frac{1}{2}$α) - $\frac{1}{2}$β，
∴∠PHC + ∠BFC = 180° + $\frac{1}{2}$α - $\frac{1}{2}$β.
综上所述，∠PHC与∠BFC之间的数量关系是∠PHC - ∠BFC = $\frac{1}{2}$β - $\frac{1}{2}$α或∠PHC + ∠BFC = 180° + $\frac{1}{2}$α - $\frac{1}{2}$β.

4.当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时,我们称此三角形为"特征三角形",其中α称为"特征角".如果一个"特征三角形"的一个内角为42°,那么这个"特征角"α的度数为42°或84°或92°.

答案： 42°或84°或92° [解析]当内角α是42°时，三角形的一个内角为42°÷2 = 21°.
∵42° + 21° = 63° ＜ 180°，
∴α = 42°符合题意；
当内角α是42°的两倍时，α = 42°×2 = 84°.
∵42° + 84° = 126° ＜ 180°，
∴α = 84°符合题意；
当内角α是第三个角的两倍时，设α = x°，则第三个角为$\frac{1}{2}x°$，依题意，得42 + x + $\frac{1}{2}x = 180$，
解得x = 92，
∴α = 92°.
综上所述，α的度数为42°或84°或92°.

变式4.1 如图,CD是△ABC的角平分线,∠1= ∠2,∠B= 30°,求∠ACB的度数.
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答案： 设∠ACB = 2α，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD = ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB = α，
∴∠1 = ∠B + ∠BCD = 30° + α.
∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = 30° + α.
∵∠2 + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴30° + α + 30° + 2α = 180°，
∴α = 40°，
∴∠ACB = 80°.

变式4.2 (2025·甘肃张掖甘州区期末)如图所示,在△ABC中,D是BC边上的一点,∠C= ∠DAC,∠B= ∠ADB,∠BAC= 87°,求∠DAC的度数.
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答案：
∵∠C = ∠DAC，
∴设∠C = ∠DAC = x，
则∠ADB = 2x = ∠B.
∵∠BAC = 87°，
∴∠B + ∠C = 93°，
∴x + 2x = 93°，
∴x = 31°，
∴∠DAC = 31°.