《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

7. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 36°,AC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,连结CE.
(1)求∠BEC的度数；
(2)求证：AE= BC.

答案：
(1)
∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=36°+36°=72°.
(2)
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=EC.又EC=AE，
∴AE=BC.
归纳总结 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和三角形外角的性质的应用.注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

8. 如图,在△ABC中,∠ABC= ∠ACB,D为BC的中点,连结AD.AC的垂直平分线EF交AB于点E,交AD于点O,交AC于点F,连结OB,OC.
(1)求证：△AOB是等腰三角形；
(2)若∠BAD= 18°,求∠AEF的度数.

答案：
(1)
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．又D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴OB=OC．
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形.
(2)
∵EF⊥AC
∴∠AFE=90°.
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAF=2∠BAD=36°，
∴∠AEF=90°-∠EAF=54°.
解后反思 本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.

9. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,点E是AC的中点,点F是BD的中点.
(1)求证：EF⊥BD；
(2)过点D作DH⊥AC于点H,如果DB平分∠HDE,求证：BA= BC.

答案：
(1)
∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，BE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=BE.
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD.
(2)设AC，BD交于点O，
∵DH⊥AC，EF⊥BD，
∴∠DHO=∠EFO=90°.
∵∠DOH=∠BOE，
∴∠HDF=∠OEF.
∵DE=BE，
∴∠EDO=∠EBO.
∵BD平分∠HDE，
∴∠HDF=∠BDE，
∴∠OEF=∠OBE.
∵∠OEF+∠EOF=90°，
∴∠EOF+∠OBE=90°，
∴∠BEO=90°，
∴BE⊥AC.又E为AC的中点，
∴BA=BC.

10. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE= FC.求证：BD= DF.

答案：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，∠DEB=90°.在△DCF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l} DC=DE,\\ ∠C=∠BED,\\ CF=EB,\end{array}\right.$
∴△DCF≌△DEB(SAS)，
∴BD=DF.
归纳总结 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

11. 中考新考法 动点问题 (2024·杭州竺可桢中学期中改编)如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 8 cm,BC= 6 cm,AB= 10 cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2 cm,设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,BP把△ABC的周长分成相等的两部分？
(2)当t为何值时,BP把△ABC的面积分成相等的两部分？并求出此时CP的长.

答案：
(1)
∵△ABC的周长=8+6+10=24(cm)，
∴当BP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AC上，此时BA+AP=CP+BC=12 cm，
∴t=(12-6)÷2=3(s).
(2)当点P在AC中点时BP把△ABC的面积分成相等的两部分，
∴CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4(cm)，
∴2t=4，解得t=2.