《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

6. 中考新考法 操作探究 (2024·山东聊城茌平区期末)如图,已知 BD 是△ABC 的角平分线,CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线,CD 与 BD 交于点 D.
(1)若∠A= 50°,则∠D= ______25°.
(2)若∠A= 80°,则∠D= ______40°.
(3)若∠A= 130°,则∠D= ______65°.
(4)若∠D= 36°,则∠A= ______72°.
(5)综上所述,你会得到什么结论？证明你的结论的准确性.

结论:∠D= $\frac{1}{2}$∠A. 证明如下:
如题图,
∵BD 是△ABC 的角平分线,CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线,
∴∠ACE=2∠2,∠ABC=2∠1,
由题可知∠ACE=180°-∠ACB=180°-(180°-∠ABC-∠A)=∠ABC+∠A,
∴2∠2=2∠1+∠A,
而∠2=180°-∠BCD=180°-(180°-∠1-∠D)=∠1+∠D,
∴2∠2=2∠1+2∠D,
∴∠A=2∠D,即∠D= $\frac{1}{2}$∠A.

答案：
(1)25°
(2)40°
(3)65°
(4)72°
(5)结论:∠D= $\frac{1}{2}$∠A. 证明如下:
如题图,
∵BD 是△ABC 的角平分线,CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线,
∴∠ACE=2∠2,∠ABC=2∠1,
由题可知∠ACE=180°-∠ACB=180°-(180°-∠ABC-∠A)=∠ABC+∠A,
∴2∠2=2∠1+∠A,
而∠2=180°-∠BCD=180°-(180°-∠1-∠D)=∠1+∠D,
∴2∠2=2∠1+2∠D,
∴∠A=2∠D,即∠D= $\frac{1}{2}$∠A.

7. (2025·江苏南通海门区期中)如图,把△ABC 沿线段 DE 折叠,使点 A 落在点 F 处,BC//DE；若∠B= 50°,则∠BDF 的度数为(C).

A.40°
B.50°
C.80°
D.100°

答案： C [解析]
∵BC//DE,∠B=50°,
∴∠ADE=50°,∠DFB=∠EDF.
又△ABC 沿线段 DE 折叠,使点 A 落在点 F 处,
∴∠EDF=∠ADE=∠DFB=50°,
∴∠BDF=180°-50°-50°=80°. 故选 C.

8. (2025·广东东莞期中)如图,M,N 分别是△ABC 的边 AB,AC 上一点,将△ABC 沿 MN 折叠,使点 A 落在边 BC 上,若∠1+∠2+∠3+∠4= 235°,则∠A 的度数为(D).
A.35°
B.45°
C.65°
D.55°

答案： D [解析]
∵∠1+∠2+∠3+∠4=235°,∠1+∠4+∠B=180°,∠2+∠3+∠C=180°,
∴∠C+∠B=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=125°.
∵∠A+∠C+∠B=180°,
∴∠A=180°-(∠C+∠B)=55°.故选 D.

9. (2025·河南洛阳期末)在△ABC 中,∠C= 90°,∠B= 34°,点 M,N 分别在 AB,BC 边上,将△BMN 沿 MN 折叠,使点 B 落在直线 AC 上的点 B′处,当△AB′M 为直角三角形时,∠BNM 的度数为______101°或 73°.

答案： 101°或 73°

10. 风筝模型 如图,把△ABC 沿 EF 折叠,使点 A 落在点 D 处.

(1)若 DE//AC,试判断∠1 与∠2 的数量关系,并说明理由；
(2)若∠B+∠C= 130°,求∠1+∠2 的度数.

答案：
(1)∠1=∠2,理由如下:
∵∠D 是由∠A 翻折得到,
∴∠D=∠A．
∵DE//AC,
∴∠1=∠A,∠2=∠D,
∴∠1=∠2．
(2)
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B+∠C=130°,
∴∠A=50°,
∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=130°．由折叠知∠AEF=∠DEF,∠AFE=∠DFE．
∴∠1+∠2=(180°-∠AEF-∠DEF)+(180°-∠AFE-∠DFE)=360°-2(∠AEF+∠AFE)=360°-260°=100°．

11. (2024·江西南昌期末改编)已知△ABC 中,∠A= 65°,将∠B,∠C 按照如图所示折叠,若∠ADB′= 35°,求∠1+∠2+∠3 的度数.

答案：
如图,由折叠知,∠B=∠B',∠C=∠C'.
∵∠3=180°-∠BEB'=180°-(180°-∠B'-∠4)=∠B'+∠4,∠4=180°-∠DMB'=180°-(180°-∠ADB'-∠B')=∠ADB'+∠B',
∴∠3=∠B'+∠ADB'+∠B'=2∠B+35°.
∵∠1+∠2=180°-∠C'GC+180°-∠C'FC=360°-(∠C'FC+∠C'GC),
∠C'FC+∠C'GC=360°-∠C-∠C'=360°-2∠C,
∴∠1+∠2=360°-(∠C'FC+∠C'GC)=360°-(360°-2∠C)=2∠C.
∴∠1+∠2+∠3=2∠C+2∠B+35°=2(∠C+∠B)+35°=2(180°-∠A)+35°=2×(180°-65°)+35°=265°.