《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1.(2024·台州玉环期末)如图,在△ABC中,AB= AC,点 D 是边 BC 的中点,若∠C= 65°,则∠BAD的度数为(B).

A.15°
B.25°
C.35°
D.45°

答案： B　[解析]
∵AB=AC,∠C=65°,
∴∠C=∠B=65°.
∵点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−65°=25°.故选B.

2.(2024·杭州西湖区期末)在△ABC中,AB= AC,点 D 在 AC 上,且 BD= BC= AD,取 AB 边上的中点 E,连结 DE,则∠ADE= ( ).

A.18°
B.36°
C.54°
D.72°

答案：
C　[解析]如图,
∵BD=BC=AD,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.
∵∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠BDC=2∠A,
∴∠ABC=∠C=2∠A.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴5∠A=180°,
∴∠A=36°.
∵BD=AD,点E是边AB的中点，
∴DE⊥AB,
∴∠A+∠ADE=90°,
∴∠ADE=54°.
故选C;

3.(2025·丽水期末)如图,在△ABC中,AB= AC,点 D 为 BC 的中点,∠BAD= 24°,AD= AE,∠EDC= 12度.

答案： 12　[解析]在△ABC中,点D为BC中点,AB=AC,
∴AD为角平分线，AD⊥BC.
∵∠BAD=24°,
∴∠DAE=24°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=78°.
又AD⊥BC,
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−78°=12°.
解后反思本题考查了等腰三角形的中线、高和垂线三线合一的性质，以及角的度量运算,得到AD⊥BC是正确解答本题的关键.

4.(2025·湖州吴兴区期末)如图,在△ABC中,BE 平分∠ABC,DE//BC.
(1)求证：△BDE 是等腰三角形；
(2)若 BD= AE,∠DBE= 20°,求∠C 的度数.

答案：
(1)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.
∵DE//BC,
∴∠DEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠DEB.
过点D作DF垂直于BE,垂足为F.
∴∠DFB=∠DFE=90°,
∴△DFB≌△DFE(AAS),
∴BD=DE,
∴△BDE是等腰三角形
(2)
∵BD=DE,
∴∠DBE=∠DEB=20°.
∵∠ADE是△BDE的外角,
∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=40°,
∵BD=AE,
∴DE=AE,
∴∠ADE=∠A=40°,
∴∠AED=180°−∠ADE−∠A=100°.
∵DE//BC,
∴∠AED=∠C=100°.

5.(2025·江苏镇江句容期末)如图,在△ABC中,AB= AC,AC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D. 若∠DAC= 37°,则∠B 的度数是(A).

A.37°
B.30°
C.28°
D.26°

答案： A　[解析]
∵在△ABC中,AC的垂直平分线l交BC于点D,
∴AD=CD,
∴∠C=∠DAC=37°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=37°.故选A.

6.(2025·安徽合肥包河区期末)在四边形 ABCD 中,BC//AD,CA 平分∠BCD,O 为对角线的交点,CD= AO,BC= OD,则∠ABC= .

答案：
126°　[解析]如图,
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA.
∵BC//AD,
∴∠BCA=∠CAD,
∴∠DCA=∠DAC,
∴DA=DC.
∵CD=AO,
∴AD=AO,∠AOD=∠ADO=∠BOC.
∵∠CBD=∠ADB,
∴∠COB=∠CBO,CB=CO.
∵CB=OD,
∴CO=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∴∠DAC+∠ADC+∠OCD=3∠BCA+∠ADO=5∠BCA=180°,
∴∠BCA=36°,∠BCA+2∠ADO=180°,
∴∠ADO=72°,
∴∠DBC=∠DCB=72°,
∴BD=CD=AD,
∴∠DAB=∠DBA.
又∠BDA=72°,
∴∠DBA=$\frac{180° - 72°}{2}$=54°,
∴∠CBA=72°+54°=126°.

7.(2025·江苏南京玄武区期末)如图,在△ABC中,AB= AC,直线 m,n 分别是 AB,AC 的垂直平分线,m,n 交于点 P,连结 CP. 若∠1= 21°,则∠B 的度数为 .

答案：
67°　[解析]连结PA,PB,设直线m交AC于点D,如图所示
设∠PAC=α,
∵直线m,n分别是AB,AC的垂直平分线,m,n交于点P,
∴PA=PB,PA=PC,
∴PA=PB=PC,∠PAC=∠PCA=α,
∴PA是线段BC的垂直平分线.
∵AB=AC,
∴∠PAB=∠PAC=α,
∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=2α.
∵∠1=21°,
∴∠PDA=∠1+∠PCA=21°+α.
∵∠PDA+∠BAC=90°,
∴21°+α+2α=90°,
解得α=23°,
∴∠BAC=2α=46°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°−46°)=67°,
∴∠ABC的度数为67°.

8.(2024·温州文成期中)如图,在△ABC中,AB= AC,D 是 BC 的中点,点 E,F,G 是线段 AD 上的三个点,若 BC= AD= 6,则图中阴影部分的总面积为9.

答案： 9　[解析]
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD.
在△ADC和△ADB中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ AD=AD,\\ CD=BD,\end{array}\right. $
∴△ADC≌△ADB(SSS)，
∴S△ADC=S△ADB.
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，等腰三角形“三线合一”
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，FB=FC，BG=CG.
∵EF=EF，BE=CE，BF=CF，
∴△BEF≌△CEF(SSS)，
∴S△BEF=S△CEF.
同理，S△BDG=S△CDG，S△BFG=S△CFG，S△BAE=S△CAE，
∴S阴影=S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×6×6=18，
∴S阴影=9.

9. 中考新考法 满足条件的结论开放 (2025·福建厦门思明区期末)在△ABC中,CA= CB,将一块足够大的直角三角尺 PMN(∠M= 90°,∠MPN= 30°)按如图所示放置,顶点 P 在线段 AB 上滑动,三角尺的直角边 PM 始终经过点 C,斜边 PN 交 AC 于点 D. 在点 P 的滑动过程中,若存在某一时刻△PCD 是以∠CPD 为其中一个底角的等腰三角形,则此时∠APD 与∠PCB 的数量关系为 .

答案：
2∠APD−∠PCB=90°或2∠APD=∠PCB
[解析]当△PCD是以∠CPD为其中一个底角的等腰三角形时，有以下两种情况:
①当∠CPD=∠PCD=30°时,如图
(1)所示,
∴∠APC=∠APD+∠CPD=∠APD+30°.
在△APC中,∠A+∠APC+∠PCD=180°,
∴∠A+∠APD+30°+30°=180°,
∴∠A=120°−∠APD.
∵在△ABC中,CA=CB,
∴∠B=∠A=120°−∠APD.
∵∠APC是△PBC的外角,
∴∠APC=∠PCB+∠B,
∴∠APD+30°=∠PCB+120°−∠APD,
∴2∠APD−∠PCB=90°;
②当∠CPD=∠CDP=30°时,如图
(2)所示,
∴∠APC=∠APD+∠CPD=∠APD+30°.
在△CDP中,∠PCD=180°−(∠CPD+∠CDP)=120°,在△ACP中,∠A=180°−(∠APC+∠PCD)=180°−(∠APD+30°+120°)=30°−∠APD.
∵CA=CB,
∴∠B=∠A=30°−∠APD.
∵∠APC是△PBC的外角，
∴∠APC=∠PCB+∠B,
∴∠APD+30°=∠PCB+30°−∠APD,
∴2∠APD=∠PCB.
综上所述,∠APD与∠PCB的数量关系为2∠APD−∠PCB=90°或2∠APD=∠PCB.