《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

4.(1)[模型]如图(1),AD,BC 交于 O 点.求证:∠D+∠C= ∠A+∠B.
(2)[模型应用]如图(2),∠BAD 和∠BCD 的平分线交于点 E.
①若∠D= 20°,∠B= 60°,则∠E 的度数是 ；
②直接写出∠E 与∠D,∠B 之间的数量关系是 ；
(3)[类比应用]如图(3),∠BAD 的平分线 AE 与∠BCD 的平分线 CE 交于点 E.若∠D= m°,∠B= n°(m＜n).求∠E 的度数.(用含有 m,n 的式子表示)

答案：
4.
(1)
∵∠D+∠C+∠COD=∠A+∠B+∠AOB=180°，∠COD=∠AOB，
∴∠D+∠C=∠A+∠B。
(2)①40°　[解析]如题图
(2)，
∵∠D+∠DCE=∠E+∠DAE，∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB。
∵CE平分∠DCB，AE平分∠BAD，
∴∠DCE=∠ECB，∠DAE=∠BAE，
∴2∠E=∠B+∠D，
∴∠E=$\frac{1}{2}$×(20°+60°)=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
②∠E=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B)　[解析]如题图
(2)，∠D+∠DCE=∠E+∠DAE，∠B+∠BAE=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠DCE+∠B+∠BAE=2∠E+∠DAE+∠ECB。
∵CE，AE分别是∠BCD，∠BAD的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，∠DAE=∠BAE。
∴2∠E=∠D+∠B，
∴∠E=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B)。
(3)如图，延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，

∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D。
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD。
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB−∠ECB=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAD+∠D)=$\frac{1}{2}$(∠B−∠D)。
∵∠D=m°，∠B=n°，
∴∠E=$\frac{1}{2}$(n−m)°。

5.[图形感知]如图(1),AB//CD,点 E 在直线 AB 上,点 F 在直线 CD 上,点 P 为 AB,CD 之间一点.
(1)如图(2),该基本图形称为“铅笔头型”(实线部分),它有一个常用数学结论:∠BEP+∠PFD+∠EPF= 360°,它可以通过如下方法证明,请你帮忙完成该结论的推理过程.
证明:如图(2),过点 P 作 PQ//BE.
∵AB//CD,PQ//BE(已知),
∴PQ// (平行于同一条直线的两条直线平行),
∴∠1+∠BEP= 180°,∠2+∠PFD= 180°( ),
∴∠1+∠BEP+∠2+∠PFD= 360°(等式的性质),
∴∠BEP+∠PFD+∠EPF= 360°.
(2)如图(3),该基本图形称为“M 型”(实线部分),仿照上面结论的推理思路可得∠AEP,∠CFP,∠EPF 之间的关系是 ；
[结论应用]直接利用上述结论进行证明；
(3)如图(4),直线 a//b,点 A,C 在直线 a 上,点 B,D 在直线 b 上,直线 CE,BE 分别平分∠ACD,∠ABD,且交于点 E.猜想并证明∠CEB 与∠AFD 的数量关系；
[拓展延伸]
(4)如图(5),已知 AB//CD,∠ABN 与∠CDN 两个角的平分线相交于点 E.若∠ABM= 1/n∠ABE,∠CDM= 1/n∠CDE,设∠M= m°,∠N= °.(用含有 n,m 的代数式表示)

答案：
5.
(1)CD　两直线平行，同旁内角互补
(2)∠EPF=∠AEP+∠CFP　[解析]如图，过点P作PM//AB，

∵AB//CD，
∴AB//CD//PM，
∴∠AEP=∠MPE，∠CFP=∠MPF，
∴∠EPF=∠MPE+∠MPF=∠AEP+∠CFP，
即∠EPF=∠AEP+∠CFP。
(3)∠AFD=2∠CEB，理由如下：
由
(2)，得∠CEB=∠ACE+∠DBE，∠AFD=∠CFB=∠ACF+∠DBF。
∵CE平分∠ACD，BE平分∠ABD，
∴∠ACD=2∠ACE，∠DBF=2∠DBE，
∴∠AFD=2∠CEB。
(4)(360 - 2mn)　[解析]
∵∠ABN与∠CDN两个角的平分线相交于点E，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABN，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠CDN。
∵∠ABM=$\frac{1}{n}$∠ABE，∠CDM=$\frac{1}{n}$∠CDE，
∴∠ABE=n∠ABM，∠CDE=n∠CDM，
∴∠ABN=2n∠ABM，∠CDN=2n∠CDM。
由
(1)，得∠ABN+∠N+∠CDN=360°，
∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠N=360°。
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴2n∠M+∠N=360°。
∵∠M=m°，
∴∠N=(360 - 2mn)°。