《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

9.(2024·四川成都武侯区期末)如图,直线$l:y= ax+3交x轴于点A(6,0)$,将直线$l$向下平移4个单位长度,得到的直线分别交$x$轴､$y轴于点B,C$.
(1)求$a的值及B,C$两点 的坐标;
(2)点$M为线段AB$上一点,连结$CM$并延长,交直线$l于点N$,若$\triangle AMN$足等腰三角形,求点$M$ 的坐标.

答案：
(1)
∵直线$l:y=ax+3$交x轴于点$A(6,0),$
∴$6a+3=0$,解得$a=-\frac{1}{2},\therefore y=-\frac{1}{2}x+3,$
∴将直线l向下平移4个单位长度，得到的直线为$y=-\frac{1}{2}x+3-4=-\frac{1}{2}x-1.$令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x-1=0$,解得$x=-2,$令$x=0$,则$y=-1,\therefore B(-2,0),C(0,-1).$
(2)当$MN=AN$时,则$∠AMN=∠MAN.$
∵$AN// BC,\therefore ∠MAN=∠MBC.$
∵$∠AMN=∠BMC,\therefore ∠MBC=∠BMC,\therefore BC=CM.$$\because CO⊥BM,\therefore OM=OB=2,\therefore M(2,0).$当$AM=AN$时,则$∠AMN=∠ANM.$
∵$AN// BC,\therefore ∠ANM=∠BCM.$
∵$∠AMN=∠BMC,\therefore ∠BCM=∠BMC,\therefore BC=BM.$$\because B(-2,0),C(0,-1),$
∴$BC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5},\therefore BM=\sqrt{5},$
∴$OM=\sqrt{5}-2,\therefore M(\sqrt{5}-2,0).$当$AM=MN$时,则$∠MAN=∠MNA.$
∵$AN// BC,\therefore ∠MAN=∠MBC,∠MCB=∠MNA,\therefore ∠MBC=∠MCB,\therefore CM=BM.$在$Rt\triangle OCM$中,由勾股定理,得$OC^{2}+OM^{2}=CM^{2},$即$(2-OM)^{2}=OM^{2}+1^{2},\therefore OM=\frac{3}{4},\therefore M(-\frac{3}{4},0).$综上，点M的坐标为$(2,0)$或$(\sqrt{5}-2,0)$或$(-\frac{3}{4},0).$

10. 中考新考法满足条件 的结论开放 在平面直角坐标系中有$A(1,2),B(3,2)$两点,另有一次函数$y= kx+b(k≠0)$ 的图象.
(1)若$k= 1,b= 2$,判断函数$y= kx+b(k≠0)$ 的图象与线段$AB$是否有交点?请说明理由.
(2)当$b= 12$时,函数$y= kx+b(k≠0)$ 的图象与线段$AB$有交点,求$k$ 的取值范围.
(3)若$b= -2k+2$,求证:函数$y= kx+b(k≠0)$ 的图象一定经过线段$AB$ 的中点.

答案：
(1)函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与线段AB没有交点.理由如下:由题意,得线段AB的表达式为$y=2(1≤x≤3),$当$k=1,b=2$时,一次函数表达式为$y=x+2$,将$y=2$代入,得$x=0$,
∴此时该函数与线段AB无交点.
(2)将$b=12$代入$y=kx+b$,得一次函数表达式为$y=kx+12.$当函数过点A时,将点$A(1,2)$代入$y=kx+12,$得$k+12=2$,解得$k=-10;$当函数过点B时,将点$B(3,2)$代入$y=kx+12,$得$3k+12=2$,解得$k=-\frac{10}{3},\therefore -10≤k≤-\frac{10}{3}.$
(3)将$b=-2k+2$代入$y=kx+b$,得一次函数表达式为$y=kx-2k+2.$由题意，得线段AB的中点为$(2,2),$当$x=2$时,$y=2k-2k+2=2,$
∴$(2,2)$在一次函数$y=kx-2k+2$的图象上,
∴若$b=-2k+2$,函数$y=kx+b(k≠0)$的图象一定经过线段AB的中点方法诠释　本题考查的是一次函数与线段的交点问题，用待定系数法求一次函数的表达式，熟练掌握一次函数的性质是答题的关键.

11. 数形结合思想 (2024·北京中考)在平面直角坐标系$xOy$中､函数$y= kx+b(k≠0)与y= -kx+3$ 的图象交于点$(2,1)$.
(1)求$k,b$ 的值;
(2)当$x＞2$时,对于$x$ 的每一个值､函数$y= mx(m≠0)的值既大于函数y= kx+b$ 的值,也大于函数$y= -kx+3$ 的值,直接写出$m$ 的取值范围.

答案：

(1)由题意,将$(2,1)$代入$y=-kx+3$,得$-2k+3=1$,解得$k=1$.将$k=1,(2,1)$代入函数$y=kx+b(k≠0)$中,得$\left\{\begin{array}{l} 2k+b=1,\\ k=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=1,\\ b=-1,\end{array}\right. $
(2)
∵$k=1,b=-1,$
∴两个一次函数的表达式分别为$y=x-1,y=-x+3.$当$x＞2$时,对于x的每一个值,函数$y=mx(m≠0)$的值既大于函数$y=x-1$的值,也大于函数$y=-x+3$的值，即当$x＞2$时,对于x的每一个值,直线$y=mx(m≠0)$的图象在直线$y=x-1$和直线$y=-x+3$的上方，画出图象结合函数图象能更清楚直观地看出所求的结果由图象可知,当直线$y=mx(m≠0)$与直线$y=x-1$平行时(如图
(1))符合题意或者当$y=mx(m≠0)$与x轴的夹角大于直线$y=x-1$与x轴的夹角也符合题意(如图
(2)),
∴当直线$y=mx(m≠0)$与直线$y=x-1$平行时,$m=1,$
∴当$x＞2$时,对于x的每一个值,直线$y=mx(m≠0)$的图象在直线$y=x-1$和直线$y=-x+3$的上方时,$m≥1,\therefore m$的取值范围为$m≥1.$