《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

5. 实验班原创 在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y= kx+b与直线y= -2x$平行,且经过点$(-1,1)$.
(1)求$k,b$的值；
(2)若直线$y= mx,y= kx+b与y$轴围成的三角形面积为1,直接写出$m$的值.

答案：
(1)解：因为直线$y=kx+b$与直线$y=-2x$平行，所以$k=-2$。
将点$(-1,1)$代入$y=-2x+b$，得$1=-2×(-1)+b$，解得$b=-1$。
(2)$m=1$或$m=-3$

6. 已知直线$y= x+3与x$轴,$y轴交于A,B$两点,直线$l$经过原点,与线段$AB交于点C$,把$\triangle AOB的面积分成2:1$的两部分,则直线$l$的表达式为$y=-2x$或$y=-\frac {x}{2}$.

答案： $y=-2x$或$y=-\frac {x}{2}$

7. 如图,直线$l_{1}:y_{1}= -x+2与x$轴,$y轴分别交于A,B$两点,点$P(m,3)为直线l_{1}$上一点,直线$l_{2}:y_{2}= \frac{1}{2}x+b过点P$.
(1)写出各点坐标：$A$______$(2,0)$______,$B$______$(0,2)$______；
(2)求点$P的坐标和b$的值；
将$P(m,3)$代入$y_{1}=-x+2$，得$3=-m+2$，解得$m=-1$，即点P坐标为$(-1,3)$.将$P(-1,3)$代入$y_{2}=\frac {1}{2}x+b$，得$3=-\frac {1}{2}+b$，解得$b=\frac {7}{2}.$
(3)若点$C是直线l_{2}与x$轴的交点,动点$Q从点C$开始以每秒1个单位的速度向$x$轴正方向移动,设点$Q的运动时间为t$秒,当$t$为何值时,$\triangle APQ$的面积等于4.5？并求出此时点$Q$的坐标.
当$y_{2}=\frac {1}{2}x+\frac {7}{2}=0$时，$x=-7,$即点C的坐标为$(-7,0)$.由题意，得$CQ=t,$所以$AC=2-(-7)=9,AQ=|9-t|,$$S_{\triangle APQ}=\frac {1}{2}×3×|9-t|=4.5$，解得$t=6$或12，所以当t为6或12时，$△APQ$的面积等于4.5.当$t=6$时，点Q的坐标为$(-1,0)$；当$t=12$时，点Q的坐标为$(5,0).$

答案：
(1)$(2,0)$$(0,2)$
(2)将$P(m,3)$代入$y_{1}=-x+2$，得$3=-m+2$，解得$m=-1$，即点P坐标为$(-1,3)$.将$P(-1,3)$代入$y_{2}=\frac {1}{2}x+b$，得$3=-\frac {1}{2}+b$，解得$b=\frac {7}{2}.$
(3)当$y_{2}=\frac {1}{2}x+\frac {7}{2}=0$时，$x=-7,$即点C的坐标为$(-7,0)$.由题意，得$CQ=t,$所以$AC=2-(-7)=9,AQ=|9-t|,$$S_{\triangle APQ}=\frac {1}{2}×3×|9-t|=4.5$，解得$t=6$或12，所以当t为6或12时，$△APQ$的面积等于4.5.当$t=6$时，点Q的坐标为$(-1,0)$；当$t=12$时，点Q的坐标为$(5,0).$

8. 新情境 抗震救灾 为了救援地震灾区,某市$A,B$两厂共同承接了生产500吨救灾物资任务,$A厂生产量是B$厂生产量的2倍少100吨,这批救灾物资将运往甲、乙两地,其中甲地需要物资240吨,乙地需要物资260吨,运费如表：
(单位：吨/元)
|生产厂家|目的地|
||甲|乙|
|A|20|25|
|B|15|24|

(1)$A$厂生产了______300吨救灾物资,$B$厂生产了______200吨救灾物资；
(2)设这批物资从$B厂运往甲地x$吨,全部运往甲、乙两地的总运费为$w$元,求$w与x$之间的函数表达式,并设计使总运费最少的调运方案；
由题意，得这批物资从B厂运往乙地$(200-x)$吨，从A厂运往甲地$(240-x)$吨，从A厂运往乙地$260-(200-x)=(60+x)$吨，$\therefore w=15x+24(200-x)+20(240-x)+25(60+x)=-4x+11100(0≤x≤200)$，
∴w与x之间的函数表达式为$w=-4x+11100(0≤x≤200).$$\because -4＜0$，
∴w随x的增大而减小，
∴当$x=200$时，w的值最小，
∴A厂运往甲地40吨、运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少.
(3)当每吨运费降低$a$元($0＜a≤15$,且$a$为整数)时,若按照(2)中设计的调运方案运输,且总运费不超过5400元,求$a$的值最小值.10

答案：
(1)300 200
(2)由题意，得这批物资从B厂运往乙地$(200-x)$吨，从A厂运往甲地$(240-x)$吨，从A厂运往乙地$260-(200-x)=(60+x)$吨，$\therefore w=15x+24(200-x)+20(240-x)+25(60+x)=-4x+11100(0≤x≤200)$，
∴w与x之间的函数表达式为$w=-4x+11100(0≤x≤200).$$\because -4＜0$，
∴w随x的增大而减小，
∴当$x=200$时，w的值最小，
∴A厂运往甲地40吨、运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少.
(3)由题意，得$w=-4x+11100-500a.$当$x=200$时，w的最小值为$10300-500a,$$\therefore 10300-500a≤5400$，解得$a≥\frac {49}{5}.$$\because 0＜a≤15$，且a为整数，
∴a的最小值为10.