《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

10.(2025·安徽安庆太湖期末)如图,AD,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线,AB= AC.
(1)若△ABC 的面积是 20,且 BC= 4,求 AD 的长；
(2)若∠CAD= 20°,求∠ACE 的度数.

答案：
(1)
∵AD是△ABC的中线,AB=AC,
∴AD⊥BC.
∵△ABC的面积是20,且BC=4,
∴$\frac{1}{2}$BC·AD=20,
∴$\frac{1}{2}$×4×AD=20,
∴AD=10.
(2)
∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°−∠CAB)=70°.
∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°.

11. 如图,在△ABC中,AB= AC,D 是 BC 边上的中点,连结 AD,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,过点 E 作 EF//BC 交 AB 于点 F.
(1)若∠C= 36°,求∠BAD 的度数；
(2)求证：∠FBE= ∠FEB.

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC.
∵∠C=36°,
∴∠ABC=36°,
∵点D为BC边上的中点,AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°−90°−36°=54°.
(2)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵EF//BC,
∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB.

12. 构造辅助线思想 (2024·杭州余杭区期中)如图,在△ABC中,AB= BC,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 D,交 AC 于点 F.
(1)若∠AFD= 155°,求∠EDF 的度数；
(2)若点 F 是 AC 的中点,求证：∠CFD= 1/2∠B.

答案：

(1)
∵∠AFD=155°,
∴∠DFC=180°−155°=25°.
∵DF⊥BC,DE⊥AB,
∴∠FDC=∠AED=90°,
∴∠C=90°−25°=65°.
∵AB=BC,
∴∠C=∠A=65°,
∴∠EDF=360°−65°−155°−90°=50°,
(2)如图，连结BF.
∵AB=BC,且点F是AC的中点
∴BF⊥AC,
∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠CFD+∠BFD=90°,
∵∠CBF+∠BFD=90°,
∴∠CFD=∠CBF,
∴∠CFD=$\frac{1}{2}$∠ABC.

13.(2023·苏州中考)如图,在△ABC中,AB= AC,AD 为△ABC 的角平分线. 以点 A 为圆心,AD 的长为半径画弧,与 AB,AC 分别交于点 E,F,连结 DE,DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC= 80°,求∠BDE 的度数.

答案：
(1)
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD.由作图知,AE=AF.
在△ADE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AF,\\ ∠BAD=∠CAD,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△ADF(SAS).
(2)
∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.
由作图知,AE=AD,
∴∠AED=∠ADE,
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°.
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC,
∴∠BDE=90°−∠ADE=20°.