《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

11. (2024·天津中考)解不等式组：请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得______；
(2)解不等式②,得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组的解集为______.

答案：

(1)x ≤ 1　
(2)x ≥ -3　
(3)把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如图:　　　　　　 　
(4)-3 ≤ x ≤ 1

12. (2025·杭州上城区期末)解不等式组：$\left\{\begin{array}{l} 2x-1\leqslant x+1,\\ 3x-5＜2(2+3x)\end{array} \right. $并写出满足不等式组的整数解.

答案： {2x - 1 ≤ x + 1,① 3x - 5 ＜ 2(2 + 3x),② 由①,得x ≤ 2,由②,得x ＞ -3.
∴不等式组的解集为 -3 ＜ x ≤ 2.
∴原不等式组的整数解是 -2,-1,0,1,2.

13. (湖北襄阳四中自主招生)定义运算：$a\oplus b= (a+1)b$,当$1\leqslant x\leqslant2$时,存在x使不等式$2\oplus mx＜4$成立,则实数m的取值范围为(D).
A.$0\leqslant m\leqslant\frac {4}{3}$
B.$m\leqslant\frac {2}{3}$
C.$m\leqslant0$
D.$m＜\frac {4}{3}$

答案： D [解析]
∵2⊕mx＜4,
∴(2+1)mx＜4,即3mx＜4.
∵当1 ≤ x ≤ 2时,存在x使不等式2⊕mx＜4成立，
∴m ＜ $\frac{4}{3x}$.
∴m ＜ $\frac{4}{3}$,故选D.

14. (江苏南京南师附中特长生)已知n,k均为正整数,且对于每一个确定的n,满足不等式$\frac {5}{9}＜\frac {n}{n+k}＜\frac {4}{7}$的k仅有一个,求n的最大值与最小值.

答案：
∵$\frac{5}{9}$ ＜ $\frac{n}{n + k}$ ＜ $\frac{4}{7}$,n,k均为正整数,
∴5(n + k) ＜ 9n,7n ＜ 4(n + k),
∴$\frac{3}{4}$n ＜ k ＜ $\frac{4}{5}$n,即$\frac{15n}{20}$ ＜ k ＜ $\frac{16n}{20}$.
∵k有唯一正整数解，
∴$\frac{16n}{20}$ - $\frac{15n}{20}$ ≤ 2,
∴n ≤ 40.　经检验,当n = 1,2,3,4,5,6,7,8时,均不符合,　当n = 9时,$\frac{27}{4}$ ＜ k ＜ $\frac{36}{5}$,即k = 7,符合题意;当n = 40时,30 ＜ k ＜ 32,即k = 31,符合题意
∴n的最大值为40,最小值为9.

15. (2024·泸州中考)某商场购进A,B两种商品,已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍. 若A商品按每件150元销售,B商品按每件80元销售,为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不低于1770元,则购进A商品的件数最多为多少？

答案：
(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件,根据题意,得{3x - 4y = 60,5x + 2y = 620},解得{x = 100,y = 60}.　故A商品的进价是100元/件,B商品的进价是60元/件.　
(2)设购进m件A商品，则购进(60 - m)件B商品,　根据题意，得{60 - m ≥ 2m,(150 - 100)m + (80 - 60)(60 - m) ≥ 1770},解得19 ≤ m ≤ 20,
∴m的最大值为20.　故购进A商品的件数最多为20件.