《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

8. 在△ABC 中,∠A 与∠C 的和是∠B 的 2 倍,∠C 与∠A 的差等于∠B. 求证：△ABC 为直角三角形.

答案：
∵∠A+∠C=2∠B，
∴∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-2∠B，
∴∠B=60°，
∴∠A+∠C=120°.
又∠C-∠A=∠B=60°，
∴∠C=90°.
故△ABC为直角三角形.

9. 如图,在△ABC 中,∠B= 30°,∠C= 62°,AE 平分∠BAC.
(1)求∠BAE 的度数；
(2)若 AD⊥BC 于点 D,∠ADF= 74°,求证：△ADF 是直角三角形.
]

答案：
(1)
∵∠B=30°，∠C=62°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-62°=88°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= $\frac{1}{2}$∠BAC= $\frac{1}{2}$×88°=44°.
(2)
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-44°=16°.
∵∠ADF=74°，
∴∠ADF+∠EAD=74°+16°=90°，
∴∠AFD=90°，
∴△ADF是直角三角形.

10.(2024·江苏无锡梁溪区期中)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高线,CE 是 AB 边上的中线,DG⊥CE 于点 G,CD= AE.
(1)求证：CG= EG；
(2)若∠AEC= 78°,求∠BCE 的度数.
]

答案：
(1)
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=90°.
又AE=EB，
∴DE=AE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
∵CD=AE，
∴DE=DC.
又DG⊥CE，
∴CG=EG(等腰三角形三线合一).
(2)设∠ECD=x.
∵CD=ED，
∴∠DEC=∠ECD=x，
∴∠EDB=∠DEC+∠ECD=2x(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∵∠AEC=78°，∠AEC=∠B+∠ECD(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，即78°=∠B+x①.
∵DE=BE(由
(1)知AE=EB=DE)，
∴∠B=∠EDB=2x②(等边对等角).
把②代入①，得78°=2x+x，解得x=26°，
∴∠BCE的度数为26°.

11. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 2∠B,AB= 2AC. 求证：△ABC 是直角三角形.

答案： 如图，作线段AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E，连结AE.
易证△AED≌△BED(SAS).
∴AD= $\frac{1}{2}$AB= $\frac{1}{2}$×2AC=AC，∠B=∠EAD.
∵∠BAC=2∠B，∠EAD+∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠EAD.
在△AEC和△AED中， $\begin{cases}AE=AE\\∠EAC=∠EAD\\AC=AD\end{cases}$
∴△AEC≌△AED(SAS)，
∴∠C=∠EDA.
∵∠EDA=90°(垂直平分线的性质)，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.

12. 手拉手模型 (1)[问题发现]如图(1),△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连结 BE.
①∠AEB 的度数为60°；
②线段 AD,BE 之间的数量关系是AD=BE；
(2)[拓展探究]如图(2),△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB= ∠DCE= 90°,点 A,D,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中 DE 边上的高,连结 BE. 请判断∠AEB 的度数及线段 CM,AE,BE 之间的数量关系,并说明理由.

∠AEB=90°，AE=2CM+BE.理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中， $\begin{cases}CA=CB\\∠ACD=∠BCE\\CD=CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
∵△DCE是等腰直角三角形，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME(等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半)，
∴DE=2CM.
∵AE=DE+AD，AD=BE，
∴AE=2CM+BE.

答案：
(1)①60° ②AD=BE
[解析]①
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中， $\begin{cases}CA=CB\\∠ACD=∠BCE\\CD=CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180°-∠CDE=120°.
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
②
∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE.
(2)∠AEB=90°，AE=2CM+BE.理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中， $\begin{cases}CA=CB\\∠ACD=∠BCE\\CD=CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
∵△DCE是等腰直角三角形，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME(等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半)，
∴DE=2CM.
∵AE=DE+AD，AD=BE，
∴AE=2CM+BE.