《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

1. 如图,在△ABC 中,DE 垂直平分 BC,分别交 BC,AB 于点 D,E,连结 CE,BF 平分∠ABC,交 CE 于点 F,若 BE= AC,∠ACE= 12°,则∠EFB 的度数为(B).

A.58°
B.63°
C.67°
D.70°
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答案： B [解析]
∵DE 垂直平分 BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB.
∵EB=EC，BE=AC，
∴AC=EC.
∴∠AEC=∠EAC=$\frac{1}{2}$×(180°-12°)=84°.
∴∠EBC=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠AEC=42°.
∵BF 平分∠ABC，
∴∠EBF=∠CBF=21°.
∴∠EFB=∠AEC-∠EBF=63°. 故选 B.

2. 教材 P40 例 2·变式 如图,在△ABC 中,DE 是 BC 的垂直平分线. 若 AB= 5,AC= 8,则△ABD 的周长是 13.

答案： 13 [解析]
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AC=AD+CD=AD+BD，
∴△ABD 的周长=AB+AD+BD=AB+AC=5+8=13.

3. (2024·四川成都郫都区期末)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠B= 30°. 按以下步骤作图:① 分别以点 B,C 为圆心,以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧相交于两点 M,N;②作直线 MN 交 AB 于点 D,连结 CD. 若 AC= 1 cm,则△ADC 的周长为 3 cm.

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答案： 3 cm [解析]由作图可知，MN 垂直平分线段 BC，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB=30°，
∴∠CDA=∠B+∠DCB=60°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ADC 是等边三角形，
∴AC=CD=AD=1 cm，
∴△ADC 的周长为 AC+CD+AD=3(cm).

4. 教材 P42 作业题 T5·变式 如图,在△ABC 中,∠ABC= 2∠C,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,求证:点 D 在 BC 的垂直平分线上.
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答案：
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC.
∵在△ABC 中，∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DB=DC，
∴点 D 在 BC 的垂直平分线上.

5. (河南自主招生)如图,在△ABC 中,作边 AB 的垂直平分线,交边 BC 于点 D,连结 AD. 若∠B= 35°,∠C= 60°,则∠DAC 的度数为(A).

A.50°
B.40°
C.35°
D.30°
]

答案： A [解析]
∵∠B=35°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=85°.
∵点 D 在 AB 的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD=35°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=85°-35°=50°. 故选 A.

6. (2024·广西河池宜州区期末)如图,点 P 是∠AOB 外的一点,点 M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上. 若 PM= 3.5 cm,PN= 4 cm,MN= 5 cm,则线段 QR 的长为(B).

A.4.5 cm
B.5.5 cm
C.6.5 cm
D.7 cm

答案： B [解析]
∵点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，
∴OA 垂直平分 PQ，
∴QM=PM=3.5 cm，
∴QN=MN-QM=5-3.5=1.5(cm).
∵点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上，
∴OB 垂直平分 PR，
∴RN=PN=4 cm，
∴QR=QN+RN=1.5+4=5.5(cm). 故选 B.

7. (2024·天津宁河区期末)如图,在等腰三角形 ABC 中,AB= AC,AD⊥BC,EF 垂直平分 AB,交 AB 于点 E,交 BC 于点 F,G 是线段 EF 上的一动点,若△ABC 的面积是$ 6 cm^2,BC= 6 cm,$则△ADG 的周长最小为 cm.
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答案：
5 [解析]如图，连结 GB.

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3 cm.
∵S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$BC·AD=6，
∴AD=2 cm.
∵EF 垂直平分 AB，
∴GB=GA，
∴AG+GD=BG+GD.
∵BG+GD≥BD，
∴GB+GD≥3 cm，
∴GB+GD 的最小值为 3 cm，
∴△ADG 的周长最小值为 2+3=5(cm).

8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,∠C= 30°.
(1)请在图中用尺规作图的方法作出 AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,并标出点 D;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连结 AD,求证:△ABD 是等边三角形.
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答案：

(1)如图所示.

(2)如图，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°.
∵点 D 在 AC 的垂直平分线上，
∴DA=DC.
∴∠CAD=∠C=30°，
∴∠DAB=60°.
∴∠ADB=∠B=∠DAB=60°，即△ABD 是等边三角形.