《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

11. 在如图所示的图形中建立平面直角坐标系,使点B,C的坐标分别为(2,0)和(6,0),根据坐标系提供的数据,求：
(1)点A,D,E,F,G的坐标；
(2)△BCF及四边形ABFG的面积.

答案：

(1)如图,以BC所在直线为x轴,过点A且垂直于BC的值为y轴建立平面直角坐标系,
　　　　　
　则A(0,3),D(8,1),E(7,3),F(5,2),G(3,5).
(2)S△BCF=$\frac{1}{2}$×4×2=4,S四边形ABFG=5²−4×$\frac{1}{2}$×3×2=13.

12. 中考新考法 新定义问题 (2025·北京师范大学附属中学期中)如图(1),线段AB可以记作a,类似的,以A为起点,以B为终点的有向线段记作$\overrightarrow{AB}或\overrightarrow{a}$. 在平面直角坐标系中,若A($x_1$,$y_1$),B($x_2$,$y_2$),则$\overrightarrow{AB}$= ($x_2 - x_1$,$y_2 - y_1$). 如A(2,1),B(-3,2),则$\overrightarrow{AB}$= (-3-2,2-1)= (-5,1).

在平面直角坐标系中,设$\overrightarrow{a}$= ($x_1$,$y_1$),$\overrightarrow{b}$= ($x_2$,$y_2$),箭头在字母正上方,不要覆盖前后文字可以如下定义$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的运算：
加法：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$= ($x_1 + x_2$,$y_1 + y_2$)；
减法：$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$= ($x_1 - x_2$,$y_1 - y_2$)；
数乘：$k\overrightarrow{a}$= ($kx_1$,$ky_1$)(k为实数)；
点乘：$\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}$= $x_1x_2 + y_1y_2$.
对于$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,若$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$所在直线垂直,我们就说$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$垂直,记为$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$,若$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$,则$\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}$= 0. 若$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$所在直线平行或共线,我们就说$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$平行,记为$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$,若$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$,则存在实数k,使得$\overrightarrow{b}= k\overrightarrow{a}$.
根据以上材料回答问题：
(1)若O为坐标原点,点A为(6,2),则$\overrightarrow{OA}$= (6,2)；
(2)若$\overrightarrow{a}$= (2,3),$\overrightarrow{b}$= (-4,m),其中m为实数,且满足$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$,则m=-6；
(3)若$\overrightarrow{a}$= (x-1,2),$\overrightarrow{b}$= (x-2,-3),其中x为实数,则$\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}$=x²−3x−4；(用含x的式子表示)
(4)若$\overrightarrow{a}$= (x,0),$\overrightarrow{b}$= (1,0),$\overrightarrow{c}$= (-1,2x),$\overrightarrow{d}$= (0,1),其中x为实数,且满足$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\perp(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})$,则x=-1；
(5)如图(2),在平面直角坐标系中,A(0,3),B(-1,0),OB= OD,OA= OC,请用上面材料中的知识,通过运算的方式说明线段AB,CD的位置关系.

∵A(0,3),B(-1,0),OB=OD,OA=OC,
∴C(3,0),D(0,1),$\overrightarrow{AB}$=(-1-0,0-3)=(-1,-3),$\overrightarrow{CD}$=(0-3,1-0)=(-3,1)
∴$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$=(-1)×(-3)+(-3)×1=0,∴AB⊥CD.

答案：
(1)6　2　[解析]
∵0(0,0),A(6,$\overrightarrow{OA}$=(6−0,$2-0$)=(6$2$).
(2)−6　[解析]
∵$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$,即$\overrightarrow{b}$=k$\overrightarrow{a}$,
∴$\begin{cases}2k=-4\\3k=m\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-2\\m=-6\end{cases}$.
　故m=−6.
(3)x²−3x−4 [解析]
∵$\overrightarrow{a}$=(x−1,$2$),$\overrightarrow{b}$=(x−2,−$3$),其中x为实数,
∴$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$=(x−$)(x−$2$)+2×(−$3$)=x²−3x−4.　(4)−$ [解析]$\overrightarrow{a}$=(x,0),$\overrightarrow{b}$=(1,0),$\overrightarrow{c}$=(−1,2x),$\overrightarrow{d}$=(0,1),$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=(x−1,2x),$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}$=(1,−1).
∵($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$)⊥($\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}$),即($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$·($\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}$)=0,
∴x−$1$−2x=0,解得x=−1.
(5)
∵A($0$,$3$),B(−$1$,$0$),OB=OD,OA=OC,
∴C($3$,$0$),D($0$,$),\overrightarrow{AB}$=(−$1$−$0$,$0$−$)=(-1$,$-$,\overrightarrow{CD}$=($0$−$3$,$1$−$0$)=(-3$,$1$)
∴$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$=(−$1$)×(−$3$)+(−$3$)×$1$=0,
∴AB⊥CD.