《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

8. (江苏连云港宁海中学自主招生)如图,△ABC的三条高相交于点G,CH是角平分线,已知∠ABC= 45°,∠ACD= 60°,则图中的等腰三角形共有(D).
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

答案： D [解析]①
∵AD⊥BC,∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰三角形；②
∵CF⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠BCF=90° - 45°=45°,
∴∠FBC=∠BCF=45°,
∴△BCF is等腰三角形；③
∵∠ACB=60°,
∴∠CBG=90° - 60°=30°.
∵CH是角平分线,
∴∠BCH=∠ACH=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,
∴∠CBI=∠ICB,
∴△BCI是等腰三角形;④
∵∠ACB=60°,
∴∠CAD=90° - 60°=30°,
∴∠ACJ=∠CAJ=30°,
∴△ACJ是等腰三角形;⑤
∵∠ACF=60° - 45°=15°,
∴∠CAF=90° - 15°=75°.
∵∠AHC=∠ABC+∠BCH=45°+30°=75°（利用外角的定义）,
∴∠CAH=∠CHA=75°,
∴△ACH是等腰三角形;⑥
∵∠DGC=90° - 45°=45°,
∴∠GCD=∠DGC=45°,
∴△CDG是等腰三角形;⑦
∵∠GIJ=∠IBC+∠HCB=30°+30°=60°,∠GIJ=∠CJD=90° - 30°=60°,
∴∠GIJ=∠GJI=60°,
∴△GIJ是等腰三角形;⑧
∵∠AGF=∠CGD=45°,
∴∠GAF=∠AGF=45°,
∴△AFG是等腰三角形.综上所述,图中等腰三角形共有8个:△ABD,△BCF,△BCI,△ACJ,△ACH,△CDG,△GIJ,△AFG.

9. (2025·河南安阳林州期末)如图,在△ABC中,BC= 15 cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD//AB,PE//AC,则△PDE的周长为15 cm.

答案： 15 cm [解析]
∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE.
∵PD//AB,PE//AC,
∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE,
∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,
∴BD=PD,CE=PE,
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.

10. (2024·杭州外国语期中)如图,在△ABC中,延长CB至点D使得BD= BC,过点D作DF//AC,点F与AB上一点E连结且∠BEF= ∠A,若AC= 8,DF= 2,则EF= 6.

答案： 6 [解析]延长AB,交DF的延长线于点G,如图.
∵DF//AC,
∴∠D=∠C,∠G=∠A.
∵∠BEF=∠A,
∴∠BEF=∠G,
∴EF=FG.在△DBG和△CBA中,
$\begin{cases}∠D = ∠C\\DB = CB\\∠DBG = ∠CBA\end{cases}$
∴△DBG≌△CBA(ASA),
∴DG=AC=8.
∵DF=2,
∴FG=DG - DF=6,
∴EF=FG=6.

11. 转化思想 (2024·杭州江南实验学校期中)如图,在△ABC中,AB= AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE= CF,BD= CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A= 50°时,求∠DEF的度数.

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.在△BDE和△CEF中,
$\begin{cases}BD = CE\\∠B = ∠C\\BE = CF\end{cases}$
∴△BDE≌△CEF(SAS),
∴DE=EF,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)
∵△BDE≌△CEF,
∴∠BDE=∠CEF,
∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.
∵∠B+(∠BED+∠BDE)=180°,∠DEF+(∠BED+∠CEF)=180°,
∴∠B=∠DEF.
∵∠A=50°,AB=AC,
∴∠B=$\frac{1}{2}$×(180° - 50°)=65°,
∴∠DEF=65°.

12. 方程思想 (2024·杭州拱墅区期中)如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 16 cm,BC= 12 cm,AC= 20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2 cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)BP= (16 - t)cm .(用含t的代数式表示)
(2)当点Q在BC边上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形?$\frac{16}{3}$
(3)当点Q在边CA上运动时,出发 11或12 秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?

答案：
(1)(16 - t)cm [解析]由题意可知,AP=t,BQ=2t,
∵AB=16 cm,
∴BP=AB - AP=(16 - t)cm.
(2)当点Q在BC边上运动,△PQB为等腰三角形时,则有BP=BQ,即16 - t=2t,解得t=$\frac{16}{3}$,
∴出发$\frac{16}{3}$秒后,△PQB是等腰三角形.
(3)11或12 [解析]①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时,CQ=BQ,如图
(1)所示,则∠C=∠CBQ.
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,
∴BQ=AQ,
∴CQ=AQ=10 cm,
∴BC+CQ=22 cm,
∴t=22÷2=11(秒);
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时,CQ=BC,则BC+CQ=24 cm,
∴t=24÷2=12(秒).综上所述,当t为11或12时,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形.

13. (2024·镇江中考)等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为6.

答案： 6 [解析]当6为腰长时,则另一腰长为6,底边长为2,
∵6 + 2＞6,
∴能构成三角形,
∴第三边长为6；当2为腰长时,则另一腰长为2,底边长为6,
∵2 + 2＜6,
∴不能构成三角形,舍去.综上所述,第三边长为6.