《2025年实验班提优训练八年级数学上册浙教版》

9. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠,则图中折成的 4 个阴影三角形的周长之和为8.

答案： 8

10. (2024·台州期末)如图,在正方形网格中,点 A,B,C 均为网格线交点,请按要求作图,作图过程仅使用无刻度的直尺,保留作图痕迹,无需说明理由.
(1)如图(1),作出△ABC 关于直线 MN 对称的图形;
(2)如图(2),在直线 MN 上求作点 P,使得∠APM= ∠BPN.

答案：

(1)如图
(1)所示,△A'B'C即为所求.

(2)如图
(2)所示,点P即为所求.

11. (2024·金华东阳期中)如图,在 8×8 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,网格中有一格点三角形 ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC 关于直线 l 对称的$△A_1B_1C_1;($要求点 A 与点$ A_1,$点 B 与点$ B_1,$点 C 与点$ C_1 $相对应)
(2)若有一格点 P 到点 A,B 的距离相等,则网格中满足条件的点 P 有 个;
(3)在直线 l 上找到一点 Q,使 QB+QC 的值最小.

答案：

(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)4 [解析]作线段AB的垂直平分线,由图可知,P₁,P₂,P₃,P₄满足到点A,B的距离相等,
∴网格中满足条件的点P有4个.
(3)如图,点Q即为所求.

12. 中考新考法 创新作图题 如图,点 M,N 分别为∠AOB 边上的定点,在∠AOB 的边 OB,OA 上分别找两点 P,Q 使得 MP+PQ+QN 最小.(保留作图痕迹,写出作法)

答案：
如图.

①分别作点M,N关于OB,OA的对称点D和C;
②连结CD,交OA于点Q,交OB于点P,此时MP+PQ+QN最小.

13. 如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,以 OA,OB 为对称轴分别画出点 P 经轴对称变换后的点$ P_1,P_2,$连结$ P_1P_2,$分别与 OA,OB 相交于点 C,D. 已知$ P_1P_2= 8 cm,$求△PCD 的周长.

答案： 根据轴对称变换的性质可知,PC=P₁C,PD=P₂D,
∴△PCD的周长为PC+CD+PD=P₁C+CD+P₂D=P₁P₂=8cm.

14. (2024·绥化中考)如图,已知∠AOB= 50°,点 P 为∠AOB 内部一点,点 M 为射线 OA、点 N 为射线 OB 上的两个动点,当△PMN 的周长最小时,则∠MPN= .

答案：
80° [解析]如图,作点P关于OA的对称点E,连结EP,EO,EM,OP,
∴EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP,
作点P关于OB的对称点F,连结NF,PF,OF,NF,
∴PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF,
∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,
当E,M,N,F共线时,△PMN周长最短.
又∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,
∠AOB=∠MOP+∠PON,
∴∠EOF=2∠AOB.
又∠AOB=50°,
∴∠EOF=100°,
∴在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,
∴∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°.
∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,
∴∠MPO+∠OPN=80°,
∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=80°.

解后反思 本题考查轴对称——最短路径问题,解题的关键是作出对称点,找到共线时路径最短,利用对称性质,对角进行等量代换.